Sacar conclusiones de una desigualdad diferencial

Question

Dejemos que $f(x)$ sea una función real suave definida en $x>0$ . Se da que:

• $f$ es una función creciente ( $f'(x)>0$ para todos $x>0$ ).
• $x \cdot f'(x)$ es una función decreciente.

Estoy tratando de demostrarlo:

$$ \lim_{x\to 0}f(x) = -\infty $$

EJEMPLO: $f(x) = -x^{-q}$ para alguna constante $q>0$ . Entonces $f$ está aumentando, $x\cdot f'(x) = q x^{-q}$ está disminuyendo, y de hecho $ \lim_{x\to 0}f(x) = -\infty $ .

Si esto no es cierto, ¿qué otras condiciones son necesarias para que lo sea?

Answer 1

Su conjetura es correcta. A continuación se presenta una prueba.

Por suposición \begin{equation} 0 > (tf'(t))' = f'(t) + t f''(t), \quad t > 0. \end{equation} Por suposición $f'(t) > 0$ Así que \begin{equation} \frac{1}{t} < - \frac{f''(t)}{f'(t)} = -(\log(f'(t))', \quad t > 0. \end{equation} Para $0 < x < 1$ encontramos por integración que \begin{equation} - \log(x) = \int_x^1 \frac{1}{t} < - [\log(f'(t)]_x^1 = - \log\left( \frac{f'(1)}{f'(x)} \right) \end{equation} de lo que se deduce inmediatamente que \begin{equation} x > \frac{f'(1)}{f'(x)} \end{equation} o de forma equivalente \begin{equation} f'(x) > \frac{f'(1)}{x}. \end{equation} Ahora podemos demostrar que $f(x) \rightarrow -\infty$ como $x \rightarrow 0_+$ . Sea $\epsilon > 0$ . Entonces \begin{equation} f(1) - f(\epsilon) = \int_{\epsilon}^1 f'(x)dx > \int_{\epsilon}^1 \frac{f'(1)}{x} dx = - f'(1) \log(\epsilon) \rightarrow \infty. \end{equation} Esto completa la prueba.

Answer 2

Esta es una prueba alternativa vía contradicción, usando límites y la propiedad del mayor límite inferior. Si $\lim_{x \to 0}f(x)$ no es $-\infty,$ entonces desde $f$ es creciente para los valores positivos de $x$ se deduce que $\lim_{x \to 0}f(x)=L$ donde $L$ es el mayor límite inferior del conjunto de valores $f(x),\ x>0.$

De ello se deduce que $\lim x f(x)=0$ por lo que podemos aplicar la regla de L'Hopital (para $x \to 0$ ) a la fracción $$\frac{x \ f(x)}{x}.$$ Siendo la derivada del denominador $1,$ el límite equivalente de L'Hopital es el de $$D[x \ f(x)]=f(x)+xf'(x)$$ como $x \to 0,$ es decir, el límite equivalente es $L+\lim_{x \to 0}[x\ f'(x)].$

Ahora, usando que la fracción que aplicamos a L'Hopital fue sólo $f(x)$ (cuyo límite es $L$ ), podemos concluir que $$\lim_{x \to 0}x f'(x)=0.$$ Sin embargo, el otro supuesto del problema es que $x\ f'(x)$ es decreciente, y combinado con su límite en $0$ existir y ser $0,$ obtendríamos por positivo $x$ que $x\ f'(x)<0,$ lo que implica $f'(x)<0$ contra el otro supuesto que $f$ está aumentando.

Nota: Los enfoques de $x$ a cero aquí son todos de la derecha, naturalmente; simplemente no quería abarrotar la notación.