Si$\phi(\alpha)$ es primordial en$\mathbb{Z}$, demuestre que$\alpha$ es primordial en$\mathbb{Z}[i]$

Question

Si $\alpha=a+bi$ es una Gaussiana entero, vamos a $\phi(\alpha)=a^2+b^2$.

Si $\phi(\alpha)$ es el primer en $\mathbb{Z}$, muestran que $\alpha$ es el primer en $\mathbb{Z}[i]$.

Yo uso la idea de que si $a^2+b^2=p$ donde $p$ es el primer número, a continuación,$\mathbb{Z}[i]/(a+bi) \cong \mathbb{Z}_p$. Por lo tanto, $(a+bi)$ es un ideal maximal desde $\mathbb{Z}_p$ es un campo. Por eso, $(a+bi)$ es un alojamiento ideal y, por tanto, $a+bi$ es un primer elemento.

Es esto una prueba de que funciona?

EDIT: $\mathbb{Z}[i]/(a+bi) \cong \mathbb{Z}_p$ es probado en mi clase, así que creo que puedo seguida uso aquí. Por cierto, en la prueba de $\mathbb{Z}[i]/(a+bi) \cong \mathbb{Z}_p$, mi profesor dijo que $a^2+b^2=p$ implica $\gcd(a,b)=1$.

No puedo calcular la prueba de ello. Voy a empezar con la contradicción, es decir,$d=\gcd(a,b)>1$. A continuación,$d(\frac{a^2}{d}+\frac{b^2}{d})=p \implies d |p \implies d=p \implies a^2+b^2=\gcd(a,b)$, contradicción. Es esto una prueba de trabajo ?

Answer 1

Aquí hay una prueba alternativa:

Como$\mathbb{Z}[i]$ es un dominio único de factorización, es equivalente a mostrar que$a+ib$ es irreductible. Entonces, deje$z_1,z_2 \in \mathbb{Z}[i]$ tal que$a+ib=z_1z_2$. Luego$p=\phi(a+ib)=\phi(z_1)\phi(z_2)$, por lo tanto$\phi(z_1)=1$ o$\phi(z_2)=1$; sin embargo, para$z \in \mathbb{Z}[i]$,$\phi(z)=1$ iff$z$ es invertible.

Answer 2

No sólo es la prueba correcta, también se evita con el hecho de que $\def\Z{\mathbf Z}\Z[i]$ es una única factorización de dominio. Esto me sorprendió un poco, pero uno sí tiene la siguiente más resultado general.

La proposición. Deje $n\in\Z$ que no sea un cuadrado, y $R=\Z[\sqrt n]\cong\Z[X]/(X^2-n)$, e $\alpha=a+b\sqrt n\in R$ tal que $\phi(\alpha)=a^2-nb^2$ es una irreductible entero (hasta un signo de un número primo). A continuación, $\alpha$ es un primer elemento de$~R$ (lo que significa que $\alpha R$ es un alojamiento ideal, o, equivalentemente, que el $\alpha$ satisface la propiedad de Euclides del lexema).

La prueba en varios pasos sencillos.

• Uno ha $\phi(xy)=\phi(x)\phi(y)$ todos los $x,y$, debido a $\phi(a+b\sqrt n)=(a+b\sqrt n)(a-b\sqrt n)$.

• Por lo $\alpha$ no puede ser invertible en a $R$ $p=\phi(\alpha)$ no es invertible en a $\Z$.

• $a$ $b$ son relativamente primos en $\Z$, desde cualquier para cualquier común divisor $d$ irreducible número $p$ es divisible por $d^2$, obligando a $d^2=1$.

• Si $s,t\in\Z$ son Bezout coeficientes de con $\gcd(a,b)=1=sa+tb$,$(t+s\sqrt n)\alpha\in\Z+1\sqrt n$, de la que fácilmente se deduce que $\Z+\alpha R=R$.

• Por lo tanto, el compuesto de morfismos $\Z\to R\to R/\alpha R$ es surjective.

• El núcleo de este compuesto de morfismos contiene la irreductible número $p$ desde $p=\alpha(a-b\sqrt n)\in\alpha R$, pero no contiene $1$ desde $\alpha R\neq R$; por lo tanto, el núcleo es igual a $p\Z$.

• A continuación, $R/\alpha R\cong\Z/p\Z$ es un campo, $\alpha R$ es un ideal maximal de a $R$ y, en particular, un alojamiento ideal.

Su declaración es, por supuesto, la instancia $n=-1$ de esta proposición. Mi sorpresa fue debido al hecho de que la mayoría de los casos de $\Z[\sqrt n]$ son no singulares dominios de factorización, y para ellos la propiedad de ser un primer elemento es mucho más fuerte que la de ser irreductible.

Answer 3

Curiosamente, he utilizado más o menos exactamente a la inversa argumento para demostrar el recíproco del resultado en esta otra respuesta muy recientemente (relevante porque hago demostrar la pregunta en el título). En particular, alguien quiere mostrar que un cociente de $\mathbb{Z}[i]$ es un campo, y lo hago por mostrar algo que es primo, que puedo hacer teniendo en cuenta la norma de ser primer. Quiere mostrar que la norma se comporta muy bien, y demostrar que es ser el primer da un campo.