Mates. Axiomas de la Mecánica Cuántica:$C^*$ - vs.$W^*$ - Algebras

Question

En general en la formulación de la Mecánica Cuántica, la física de un sistema es descrito por una $C^*$-álgebra $\mathcal{A}$, donde las características observables corresponden a la auto-adjuntos de los elementos del álgebra, y de los estados que corresponden a la normalizado lineal positiva funcionales que actúan en $\mathcal{A}$. Todos en todos los posibles resultados de una medición de un observable $A \in \mathcal{A}$ están dadas por su espectro de $\sigma(A)$, y la distribución de probabilidad de $A$ en el estado $\rho$ está dado por la distribución de probabilidad $d\rho_A$ inducida en $\sigma(A)$ por el Gel'fand isomorfismo. Además, la expectativa de valor de $A$ $\rho$ es simplemente dada por el par doble $\rho(A)$ (cp. por ejemplo Walter Thirring: "Cuántica de la Física Matemática: los Átomos, las Moléculas y los Grandes Sistemas").

Sin embargo, en casi todos los casos, se considera un sistema físico no sólo como un $C^*$-, pero un $W^*$-álgebra (es decir, un resumen de von Neumann álgebra). Hay varias maneras de diferenciar el $W^*$- desde el más general $C^*$-álgebras; para esta aplicación, la siguiente propiedad es probablemente el más interesante:

Un $C^*$-álgebra $\mathcal{A}$ $W^*$- álgebra iff, toda norma-delimitada ascendente filtro (/net) tiene un supremum en $\mathcal{A}$, donde el (semi-) es inducida por la noción de positividad en $\mathcal{A}$.

Desde una perspectiva pragmática (y puramente matemática punto de vista, hay muchos mucho más potente declaraciones que uno puede hacer en la $W^*$-álgebras, que no poseen, en general, $C^*$- álgebras. Sin embargo, ¿cómo motivar a este axioma desde un punto de vista físico?

En un poco la nota, cuando uno se ocupa de la $W^*$-álgebras, los estados de interés son casi siempre solo la normal (es decir, supremum-conservación) de los estados (véase, por ejemplo, el tiempo de evolución en la imagen de Schrödinger, la cual está definida sólo para los estados normales). ¿Cuál es la razón para esto? Son los otros estados que no son "físicamente relevante"? Si sí, ¿cómo es eso?

PS: Si se podría dar algunas referencias lidiar con este tipo de preguntas, yo estaría muy agradecido - fuentes de motivar a los axiomas de QM son sorprendentemente difíciles de conseguir (incluso el excelente Thirring salta sobre las justificaciones para los supuestos en los que he citado).

Answer 1

Estas son cuestiones delicadas.

Tanto en $C^*$-álgebras y $W^*$-álgebras (también conocido como álgebras de von Neumann) se utilizan para describir las características observables de un sistema cuántico. Propiamente hablando, observables son auto-adjuntos de los elementos del álgebra.

$W^*$ álgebras son relevantes en la física, ya que son isomorfos a hormigón $C^*$-álgebras de operadores acotados en el complejo de Hilbert espacios con la propiedad de que son cerrados con respecto a los débiles y los fuertes operador de la topología y de satisfacer a los llamados de doble commutant teorema. Finalmente se generan (en el caso complejo) por su serie de proyectores ortogonales interpretable como el conjunto de primaria observables del sistema cuántico, proporcionando de esta manera una interpretación natural del teorema espectral y una justificación de la correspondencia

observable - selfadjoint operador.

El cierre de álgebras de von Neumann con respecto a la fuerte operador topología es la característica que hace más interesante que el simple $C^*$-álgebra de los operadores. Simultáneamente se hace muy rígidas estructuras que no es adecuada para describir algunos sistemas cuánticos en general situaciones (por ejemplo, a nivel local covariante QFT en la curva el espacio-tiempo).

Menciono dos consecuencias.

(a) Si una (limitada) uno mismo-adjoint operador pertenecen a un $C^*$-álgebra de los operadores que representan a las características observables de un sistema cuántico, en general, su proyección valores de medida hace que no pertenecen al álgebra -- pasaría si el álgebra fueron von Neumann, porque es la obtenida a partir de la álgebra con operaciones que no están uniformemente continua, sino que está fuertemente continuo.

(b) del mismo modo, si una simetría es descrito por una fuerza continua y unitaria del grupo de operadores de una $C^*$-álgebra de operadores de hormigón, en general, la proyección de valores de medida del generador del grupo no pertenece a la $C^*$-álgebra. Que sucede si el álgebra es von Neumann en su lugar.

También superselection reglas de entrar en la teoría de manera diferente dependiendo de la elección entre el $C^*$-álgebras y álgebras de von Neumann para describir las características observables del sistema.

El uso de la no-normalidad de los estados (de cualquiera de las $C^*$ o $W^*$ álgebra) a veces es obligatoria, ya que allí están los resultados matemáticos obligando a los dos representaciones irreducibles de la misma álgebra no unitarily equivalente y estas representaciones se construyen en diferentes algebraica de los estados a través de la GNS de la construcción. Como consecuencia, el dijo (puro) los estados que no pertenecen a la misma capa delgada. Haag es el teorema de la mayoría de resultado conocido de este tipo. Sin embargo, hay otros casos en QFT y en la mecánica estadística discutiendo sistemas extendidos y espontáneo de la simetría rota.

Las referencias. Son numerosos los trabajos sobre estos temas, pero por lo general son demasiado matemáticamente mente o en su mayor parte dirigida hacia el QFT.

Haag libro: Local de la Física Cuántica (Segunda versión Revisada y Ampliada Edición). Springer, Berlin (1996) menciona varios resultados generales a pesar de que el libro es evidentemente interesado en QFT.

Emch del libro: Métodos Algebraicos en la Mecánica Estadística y la Teoría Cuántica de campos. Wiley-Interscience, Nueva York (1972) es otro (tal vez un poco presionado) fuente. Hay también álgebras de Jordan son explotados como herramientas fundamentales.

Strocchi del introductive libro de texto: Una Introducción A La Estructura Matemática De la Mecánica Cuántica: Un Curso Corto Para los Matemáticos. Mundo Científico, Singapur (2005). Este libro está directamente relacionada con la mecánica cuántica, pero es también su límite.

Un clásico de referencia escritos como una enciclopedia es Beltrametti-Cassinelli del libro Beltrametti, E. G., Cassinelli, G.: La lógica de la mecánica cuántica. Enciclopedia de las Matemáticas y sus Aplicaciones, vol. 15, Addison-Wesley, Reading, Mass.,(1981).

Un moderno tratado donde varios problemas relacionados con los que creció (muy completa, pero tal vez a veces se escribe en una muy concisa) Blanco, J., Exner, P., Havlicek, M.: el Espacio de Hilbert Operadores en la Física Cuántica, segunda edición, Springer, Berlín (2007).

Un poco de debate sobre todos estos temas aparece en mis conferencias de hace algunos años https://arxiv.org/abs/1508.06951

Una mucho más larga discusión -- incluyendo una lista de axiomas para QM - puede encontrarse en mi libro 2013 http://www.springer.com/it/book/9788847028340 (estoy seguro de que el archivo del libro se queda en la biblioteca de génesis!) y especialmente en la 2ª edición corregida y aumentada http://www.springer.com/it/book/9783319707051 en la impresión, donde he añadido varias secciones sobre estos temas.

Un reciente libro contiene capítulos de diversos autores (escribí Ch.5 junto con I. Khavkine) acerca de las aplicaciones de formalismo algebraico para QFT es Brunetti R., Dappiaggi, C., Fredenhagen, K., y Yngvason, J. (Eds): los Avances en Algebraicas Teoría Cuántica de campos, Springer-Verlag, Berlín, (2015).