¿Existe un % de inyección $f:\mathbb{R}\to P(\mathbb{N})$que satisface estas condiciones?

Question

Existe una inyección $f:\mathbb{R}\to P(\mathbb{N})$ de los reales en el sistema de alimentación de los naturales que

1. para cualquier $x\in\mathbb{R}$ el conjunto de $f(x)$ es infinito, y

2. ¿cualquier distinto $x,y\in\mathbb{R}$ la intersección $f(x)\cap f(y)$ es finito?

Answer 1

Fijar un bijection $\mathbf{N} \leftrightarrow \mathbf{Q}$. Cada $x \in \mathbf{R}$ asignar a un conjunto de números racionales $\{x_1,x_2,\dots\}$ correspondiente a una secuencia que converge a $x$. Llamar a este mapa $f : \mathbf{R} \to P(\mathbf{Q})$. Entonces demuestran que es inyectiva $f$ $f(x)$ es infinita y si $x \ne y$ $f(x) \cap f(y)$ es finito.

Answer 2

En primer lugar, conseguir un % de inyección $g : \mathbb{R} \to P(\mathbb{N} \times \mathbb{N})$satisfacer estas condiciones ajuste $g(x) := \{ (n, \lfloor 10^n x \rfloor) : n \in \mathbb{N} \}$. ¿Ahora, utilizando el hecho de que $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ es contable, puede ver una forma para convertir $g$ a una función $f$ satisfacer las condiciones?

Answer 3

SUGERENCIA:

Cada $\alpha \in \mathbb{R}$ considerar la infinita franja $$S_{\alpha} \colon \alpha x \le y \le \alpha x + 1$ $

Cada $S_\alpha$ contiene infinitamente muchos puntos de $\mathbb{Z}^2$: en efecto, contiene al menos un punto de cada vertical. Sin embargo, $\alpha \ne \beta$, $S_{\alpha} \cap S_{\beta}$ es compacto, por lo que la intersección contiene finito muchos puntos integradas.