Conjunto de cantor (Hausdorff)

Question

¿Es el Cantor fijado Hausdorff? ¿Qué axiomas de separación tiene?

¿Sé que $\mathbb R$ son Hausdorrf es suficiente? ¿Como el conjunto de Cantor es compacto si es Hausdorff entonces el conjunto de Cantor sería normal y regular, y sería T1 para heredar? ¿O tiene otro axiomas?

Gracias por tu ayuda

Answer 1

Ser un subespacio del espacio métrico $\mathbb R$, el conjunto de Cantor es metrizable. Esto implica que el conjunto de Cantor cumple todas la separación habitual axiomas---Hausdorff, regular, totalmente regular, normal, hereditario normal, perfectamente normal.

Answer 2

"Sé que R (números reales) es Hausdor [f] f es suficiente?"

Sí. Supongamos que $X$ es un espacio de Hausdorff y $Y\subseteq X$ tiene la topología de subespacio.

Dado dos puntos $x,y\in Y,$ hay sistemas abiertos $U,V\subseteq X$ con $x\in U,$ $y\in V,$ y $U\cap V=\varnothing.$ las intersecciones de $U$ $V$ $Y$ son los subconjuntos abiertos de $Y$ y contienen $x$ y $y$ como miembros y no se cruzan entre sí.

Answer 3

Dado cualquier dos puntos $p,q\in \mathfrak{C}$ (el Cantor ternario el conjunto), tenemos que $p,q\in \mathbf{R}$ así. Tomar barrios abiertos $U,V\subset \mathbf{R}$ tal que el $p\in U$, $q\in V$% y $U\cap V=\varnothing$. Entonces si tomamos las intersecciones $\tilde{U}=\mathfrak{C}\cap U$ y $\tilde{V}=\mathfrak{C}\cap V$, tenemos que $p\in \tilde{U}$ y $q\in \tilde{V}$, $\tilde{U}\cap \tilde{V}=\varnothing$. Por definición de la topología de subespacio, $\tilde{U}$ $\tilde{V}$ abiertos en $\mathfrak{C}$ y hemos terminado.

Observe que esta construcción en general, funciona para cualquier subespacio $Y$ de un espacio de Hausdorff $X$.