¿Por qué son combinaciones particulares de las propiedades algebraicas "más rico" que otros?

Question

Pedagógicamente, cuando los estudiantes están expuestos a las estructuras algebraicas parece estándar para el mayor énfasis, si no todo el énfasis, para estar en grupos, anillos, R-módulos y categorías. Estos son ricos en estructuras con propiedades interesantes, pero en el panorama, me he preguntado por qué algunas propiedades de definición de hacer para una rica estructura, mientras que otras propiedades da menos interesantes estructuras, o nada vale la pena enseñar a todos.

Como un ejemplo muy motivador, un conjunto (o de la clase, lo que sea) que es cerrado bajo alguna operación que parece necesario hablar de cualquier cosa significativa; sin embargo, ¿por qué es que la combinación particular de

1. Tener inversa elementos
2. Tener un elemento de identidad
3. La asociatividad

más ricos (un grupo) que una simple sustitución de la asociatividad con conmutatividad (una estructura no sé ni siquiera un nombre)? También he preguntado por qué la asociatividad es mucho más frecuente que la conmutatividad. Como otro ejemplo muy motivador, nos enseñan mucho acerca de los grupos y anillos, pero ¿por qué no los bucles, monoids, semilattices, y cerca de los anillos? Lo que hace que el primero se establece más ricos en la estructura o en más pedagógicamente sonido para enseñar?

Incluso en la categoría de teoría que se me puede pedir lo que hace que la combinación específica de la definición de propiedades de una categoría tan grande. - ¿por qué la asociatividad y la no conmutatividad? - ¿por qué las categorías y no semi categorías? Me pregunto el por qué de su particular combinación de propiedades de definición es más "potente", profundo y penetrante que otra combinación de propiedades.

Answer 1

Ejemplos!

Recuerde que la mayoría (si no todos) resumen de las estructuras están motivados por ejemplos específicos. Y se tomó un largo tiempo para los matemáticos abstractos a partir de estos ejemplos y desarrollar un marco axiomático. Puesto que usted ha estado preguntando por grupos: Permutación de grupos, grupos de Simetría, de la Mentira de los grupos (también conocido como transformación de los grupos) y el ideal de los grupos de la clase apareció de forma natural en el siglo 19, incluso antes de que la noción general de un grupo nació (Cayley, Galois, Klein, Kronecker, la Mentira, y muchos otros). No hay nada interesante sobre el grupo de axiomas en sí mismos, sino en el hecho de que se sometían a lo que sucede en tantos ejemplos, y que podemos estudiar muchos fenómenos en ejemplos específicos para grupos arbitrarios. Las mismas observaciones se aplican - aún más - a la noción de una categoría.

Monoids también aparecen de forma muy natural en muchos ejemplos. Ellos tienen una rica teoría, bastante diferente de la teoría de grupos. Pero en general yo diría que monoids son más difíciles de entender que en los grupos. Por ejemplo, mientras que finitely generado conmutativa grupos se clasifican, este no es el caso de finitely generado conmutativa monoids. Por esta razón, a menudo se hace una monoid a un grupo formalmente por la introducción de la recíproca - esto se llama el grupo de Grothendieck, lo cual es especialmente importante en la K-teoría.

Monoids incluso jugar una regla importante al interiorizar en arbitraria monoidal categorías - esto conduce a la noción de un monoid objeto. Monoid objetos en $\mathsf{Set}$ son monoids en el sentido habitual, pero monoid objetos en $\mathsf{Ab}$ son anillos en el sentido usual de la palabra! Esto ofrece una considerable superposición entre monoid la teoría y el anillo de la teoría. En la conmutativa caso, podemos incluso ir más allá y desarrollar la geometría algebraica para conmutativa monoid objetos (Toen-Vaquié, Florian Marty).

No he trabajado con bucles o cerca de los anillos, pero estoy bastante seguro de que estos no son cubiertos en la mayoría de las conferencias porque no hay muchos ejemplos interesantes como para grupos y anillos.

La conclusión es muy simple: Resumen de las estructuras están motivados por ejemplos específicos. Y esto no se limita al álgebra. Usted también puede ir adelante y pregunta "¿por qué la unión axioma en la definición de una topología?". La respuesta es la misma: Porque los ejemplos (especialmente la clase de métrica espacios) han motivado a este axioma. Dado un sistema aleatorio de las operaciones y de las reglas de entre ellos, realmente no se puede decir si esto es interesante, natural o no.

Answer 2

Puesto que usted ya tiene 3 profunda y penetrante respuestas, quiero concentrarme en un solo punto menor.

Me puedes pedir lo que hace que la combinación específica de la definición de propiedades de una categoría tan grande?

En mi humilde opinión, casi nada: sin duda estará interesado en el trabajo de un amigo mío y yo (en menor medida) por el que se establecen, donde estudiamos multi-objeto parcial de los magmas y recuperar una gran cantidad de clásicos de la "categoría" de la teoría: se consiguen estas cosas llamadas parcelas donde su composición no está definida para cada par consecutivo de flechas, y cuando se define, es posiblemente no asociativo. Por último, usted no tiene identidades en todas partes.

"Tonto, nada bueno puede salir de estos mal comportamiento, espinoso cosas!"

:) no, en absoluto.

Se puede definir "isomorphisms" (sí, sin identidad), y el aviso de que "ser un isomorfismo" y "la admisión de un inversa" son diferentes nociones en este mundo, y que se derrumban en la categoría de mundo (una categoría es un asociativa de la parcela, donde la composición se define y cada objeto tiene un 1, en la misma vena un monoid es un muy buen parcial de magma). A continuación, puede definir isoids, es decir, parcelas, donde cada flecha es un isomorfismo.

Somos incluso capaces de definir morfismos de parcelas (p-unctors), natural de transformaciones (recortes, si recuerdo bien el nombre Salvatore y yo elegí), adjoints, límites, y una cadena de libre olvidadizo adjunctions que conecta la categoría (que es una categoría) de las parcelas a la categoría asociativo de las parcelas, semicategories [en este caso, hemos de dos diferentes adjunctions para dos diferentes plenamente fiel incrustaciones], y categorías. Otras cosas en la lista de cosas por hacer: ¿qué es un $n$-parcela? ¿Cómo se puede definir la localización de una parcela con respecto a una familia de flechas? ¿Simplicial cosas, ¿cómo es que el enriquecimiento ambiental (sea lo que esto significa)?

"Solo los niños jugar con los símbolos! Ejemplos, Ejemplos!!"

:) El análisis funcional y geometría simpléctica proporcionar natural "fábricas" de ejemplos de este tipo de estructuras. Por ejemplo, uno de nuestros dos unificación functors aplicado a la categoría de simpléctica relaciones da precisamente el Woodward-Wehrheim categoría.

Answer 3

Bien, básica de las operaciones binarias que tendemos a entender más profundamente son de adición, multiplicación de números o matrices, composición de funciones, la concatenación de secuencias finitas (cadenas) y la intersección, la unión de conjuntos, dicen. Todos estos son asociativos.

La asociatividad es muy natural: permite aplicar la operación de más de dos términos, es decir, es una operación binaria asociativa genera un único $n$-ary operación para todos los $n$.

Sin embargo, por supuesto, no todas las operaciones que se produce es asociativa, pero todas estas teorías deben utilizar una gran cantidad de soportes (o convención de cómo colocar los soportes si se omite). Por ejemplo, la exponenciación no es asociativa: $$(x^y)^z\,\ne\,x^{(y^z)}\,.$$ O el de Cayley números sobre los cuaterniones. Véase también álgebras de Lie.

Conmutatividad combinado con la asociatividad también permite permutar los términos: $$a_1a_2\dots a_n\ =\ a_{\sigma(1)}a_{\sigma(2)}\dots a_{\sigma(n)}$$ donde $\sigma$ es una permutación de los índices de $\{1,2,\dots,n\}$.

Sin asociatividad, es mucho más inútil. Al menos, por así decir, que no está profundamente estudiado, probablemente debido a la falta de motivación.

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Permítanme mostrar en su lugar uno más de la propiedad de las operaciones que tiene importancia en la categoría de teoría:

Dejar una relación binaria $*$ cumplir con los siguientes intercambio de bienes $$(a*b)*(c*d)\ =\ (a*c)*(b*d)\,,$$ a continuación, la categoría de $\mathcal V$ de tales estructuras es el de la auto-enriquecido, en el sentido de que la pointwise $*$ operación de mapa un par de homomorphism a un homomorphism (como en el caso de Abelian grupos).

(Tenga en cuenta también que si $*$ tiene una unidad de elemento, a continuación, $*$ es ya tanto conmutativa y asociativa.)

Answer 4

Esta es una muy suave pregunta, en mi opinión, por lo tanto he añadido la etiqueta.

Aquí están algunos - soft - consideraciones.

El más simple de estructuras algebraicas con una operación binaria se llama magmas, y aunque puede que no sean tan populares como los grupos o anillos que tienen sus fans y una gran teoría, teniendo en cuenta lo simple de sus axiomas. Algunas estructuras algebraicas fueron estudiados antes y ahora son más populares - simplemente porque eran utilizados para resolver problemas en otras áreas de las matemáticas o la geometría o la física. Pensar en grupos. Más tarde llegaron los anillos y espacios vectoriales. Los módulos de vino sólo recientemente, seguido por categorías y ahora aún más general de las estructuras existentes.

Categóricamente todas las álgebras son álgebras de una mónada, dependiendo de la mónada, usted puede obtener diferentes propiedades. La asociatividad tiende a ser una propiedad deseable, probablemente porque a la gente le gusta repetir sus operaciones y deshacerse de los paréntesis es un bono. Lo interesante es que en la física muchas operaciones son de hecho asociativo, reforzando así la pura noción matemática.

En última instancia, los estudiantes y los investigadores tienden a gravitar en torno a las herramientas (estructuras algebraicas, en este caso) que parecen ser los más eficaces en la solución de problemas del mundo real, y esto incluye problemas en otras áreas de las matemáticas