Demuestre que el sistema $\dot{x}=Ax+Bu$ es controlable si el sistema lineal de ecuaciones $XA-AX=0$ , $XB=0$ sólo admite la solución trivial $X = 0$ .
(El sistema es controlable si la matriz de controlabilidad $[B, AB, A^{2}B, ..., A^{n-1}B]$ tiene rango de fila completo)
Tenga en cuenta que ésta no es una respuesta completa : No sé si esto está relacionado porque casi no tengo comprensión intuitiva de los rangos pero de la primera ecuación vemos que $X$ y $A$ conmutar. Si multiplicamos la primera ecuación por $B$ de la derecha obtendremos:
$$ X\,A\,B - A\,X\,B = 0 \implies X\,A\,B = 0. $$
A continuación, multiplique por la izquierda con $A$ y luego usar ese $X$ y $A$ conmutar sucesivamente y escribir las siguientes ecuaciones:
$$ \begin{array}{c} X\,B = 0 \\ X\,A\,B = 0 \\ X\,A^2B = 0 \\ \vdots \\ X\,A^{n-1}B = 0 \end{array} $$
O escrito como matriz
$$ X \begin{bmatrix}B & A\,B & A^2B & \cdots & A^{n-1}B \end{bmatrix}=0. $$
Sabiendo poco sobre el rango, supongo que la última ecuación implica lo que estamos buscando, ya que es similar al caso de una matriz invertible (que es cuadrada y tiene rango completo). Por lo tanto, supongo que si $X=0$ es la única solución a esta ecuación entonces el sistema es controlable porque la matriz de controlabilidad tiene que tener rango completo (similar a la matriz invertible).
Como he dicho esto es sólo un intento de resolver este problema. Habrá que esperar a que alguien pueda juzgar si se trata de un procedimiento válido.
Oh, ¡esto tiene sentido para mí! Así que para el último paso, vamos a llamar a $[B AB ... A^{n-1}B]$ para $C$ entonces $XC=0$ . Para que el sistema sea controlable, $C$ tiene que ser invertible. Si $C$ es invertible, entonces $X = XCC^{-1}= 0*C^{-1} =0$ . ¿Sería esto suficiente como prueba o me estoy perdiendo algo?
No, ten en cuenta que la matriz de controlabilidad no es en general una matriz cuadrada, por lo que no puede tener inversa. Pero si $C$ fuera cuadrado, entonces demostrarlo sería más fácil. Pero creo que ocurre lo mismo con el rango de una ecuación. Si $XC=0$ sólo es cierto para $X=0$ entonces $C$ debe tener rango completo. Eso es lo que tenemos que demostrar.
Suponiendo que $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ y $B\in\mathbb{R}^{n\times m}$ sabemos que la matriz de controlabilidad (la denotaré con $\mathcal{C}$ ) se encuentra en $\mathbb{R}^{n\times n\,m}$ . Así que si $(A,B)$ es controlable, entonces $\mathcal{C}\,\mathcal{C}^\top$ debe ser no singular (invertible). Pero no creo que necesites esto, porque tu última ecuación sólo puede tener una solución distinta de cero para $X$ si $\mathcal{C}$ no tiene rango de columna completo (por lo que cuando las columnas de $\mathcal{C}$ no abarcan la totalidad $\mathbb{R}^n$ ). Pero el rango de columnas y filas de una matriz no cuadrada es el mismo.
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¿Puede explicar qué significa que el sistema sea controlable?