¿$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ no es uno a uno si $[f(x)]^2-4\cdot f(x^5)+3=0,\forall x\in\mathbb{R}$?

Question

Tengo una función $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$. Que %#% $ #%

Quiero demostrar que $$[f(x)]^2-4\cdot f(x^5)+3=0,\forall x\in\mathbb{R}$ no es una función uno a uno. Así que supongo que $f$ $x_1,x_2\in\mathbb{R}$ y me sale:

• $x_1\neq x_2$

Pero con el primer término no puedo decir que $x_1\neq x_2\Rightarrow x_1^5\neq x_2^5\Rightarrow f(x_1^5)\neq f(x_1^5)\Rightarrow -4\cdot f(x_1^5)+3\neq -4\cdot f(x_2^5)+3$ (porque si fuera por ejemplo $[f(x_1)]^2\neq [f(x_2)]^2$ y $f(x_1)=1$ tengo que $f(x_2)=-1$ que no está bien.

¿Así que alguna idea?

Answer 1

Tenemos que $f(1),f(-1)$ y $f(0)$ son soluciones de la ecuación cuadrática $$t^2-4t+3=0.$ Mus $

$$f(1),f(-1),f(0)\in\{1,3\}$$ which shows that $$ %f no es uno a uno.

Answer 2

Considerar el % de casos $x=0$, $x=1$ y $x=-1$. Desde entonces estas tres opciones $x^5=x$, puede reescribir la condición como $(f(x)-1)(f(x)-3)=0$. Por lo tanto, al menos dos de los tres valores anteriores se asignan a la misma real.