¿Hay cualquier "loco" totalmente ordenados anillos sin infinitos/infinitesimales?

Question

Yo estaba viendo este post y su agradable respuesta. Me pregunté si yo podría haber encontrado una forma más "loco" ejemplo. No me fue muy exitoso. Así que formaliza lo que yo estaba tratando de lograr:

Pregunta: Vamos a $(R,+,\cdot,0,1,<)$ ser totalmente ordenado conmutativa anillo sin infinitos/infinitesimals, es decir, $$\forall x\in R:\exists n\in\Bbb N:\underbrace{1+\cdots+1}_{n}>|x|., \qquad\forall x\in R-\{0\}:\existe n\in\Bbb N:\underbrace{|x+\cdots+x|}_{n}>1.$$ Es cierto que esto ya es suficiente para hacer de $R$ isomorfo a un sub-anillo de $\Bbb R$?

Esto demostraría que no hay ningún "loco" ejemplos.

Mi enfoques sobre todo comenzó a partir de $\Bbb R$ mediante la adición de nuevos elementos, pero parece que cualquier elemento adicional que llevó a los infinitos/infinitesimals. Por otro lado yo no siquiera tiene una idea sobre cómo mostrar que $R$ puede ser embebido en $\Bbb R$ en general.

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Actualización: he encontrado la Hahn incrustación teorema de ser muy relevantes para mi pregunta.

Answer 1

Este hecho es cierto. Una totalmente ordenado anillo se llama Arquímedes. He aquí cómo incrustar una de Arquímedes ordenó anillo de $R$ a $\mathbb{R}$. Para cualquier positivos $r\in R$, considerar el conjunto $S_r$ de los números racionales positivos $\frac{a}{b}$ ( $a,b\in\mathbb{Z}_+$ ) tal que $br\geq a$. El segundo supuesto implica $S_r$ es no vacío, y su primera suposición implica $S_r$ está delimitado por encima. Definir $f(r)=\sup S_r\in\mathbb{R}$. También se definen $f(0)=0$, e $f(r)=-f(-r)$ si $r<0$. (Moralmente, $S_r$ es el conjunto de los números racionales positivos inferior o igual a $r$, por lo que estamos enviando $r>0$ en el número real que define el mismo corte en los números racionales como $r$.)

Esto define un mapa de $f:R\to\mathbb{R}$, y es fácil comprobar que este mapa es una orden-la preservación de homomorphism. También es inyectiva, ya que $f(r)$ es, por definición, siempre es positivo si $r>0$ y negativo si $r<0$.

(Como alternativa, para evitar casos separados basados en los signos, en la definición de $f$, se podría definir $S_r$ para el conjunto de la $\frac{a}{b}$ $a,b\in\mathbb{Z}$ $b>0$ tal que $br\geq a$ y definen $f(r)=\sup S_r$ cualquier $r\in R$. Probablemente esto hace que sea un poco más fácil comprobar que $f$ es un homomorphism. Usted todavía tiene que separar en casos para demostrar el supremum existe, sin embargo: si $r>0$, $S_r$ es, obviamente, no vacío pero usted debe usar la no-existencia de infinitos elementos para probar que es bordeada por encima, mientras que si $r<0$, $S_r$ es, obviamente, bordeada por encima pero usted debe usar la no-existencia de infinitos elementos para probar que es no vacío. Entonces usted tiene que utilizar la no-existencia de elementos infinitesimales para demostrar $f(r)>0$ al $r>0$ $f(r)<0$ al $r<0$, por lo que el $f$ es inyectiva.)