¿Existe un * simple * ejemplo que demuestra que sin correlación variables al azar no tiene que ser independiente?

Question

Hay un ejemplo simple que muestra que, dada $X,Y$ no (covarianza es cero), $X,Y$ no son independientes?

He mirado dos referencias, sin embargo, yo no estoy satisfecho con ambos.

• En Referencia $1$, $X,Y$ se supone que para ser independiente uniforme RVs de $(0,1)$, construcción $Z = X+Y, W = X - Y$, entonces la demanda es que $Z,W$ es no correlacionados, pero no independiente. Por desgracia, la búsqueda de la PDF de $Z,W$ no es trivial.

• En Referencia $2$, $\phi$ se supone uniforme de RV de $(0, 2\pi)$, and construct $X = \cos(\phi)$, $Y = \sin(\phi)$. Then the claim is that $X,Y$ are uncorrelated but not independent. Unfortunately, the PDFs of $X,$ Y toma la forma de rara vez se menciona el arcoseno de distribución.

Sólo quiero tener un ejemplo a la mano donde puedo sacar de mostrar que la correlación no implica necesariamente independientes. Es esto factible?

Answer 1

Este es un ejemplo más sencillo (tal vez). Ser de que $X$ $N(0,1)$ y $Y = X^2.$ luego $$ E(XY) = E(X^3) = 0 =E(X)E(Y)$$ so $X$ and $Y$ are uncorrelated, but clearly they aren't independent (if you know $X$, then you know $Y).$

Answer 2

Dos monedas de feria se lanzaron independientemente; el primero tiene lados etiquetado $0$ $1,$ el segundo tiene lados etiquetado $1$ y $-1.$ $X$ sea el número que aparece en la primera moneda y $Y$ sea el producto de los dos números que se presentan.

La variables $X$ y $Y$ son sin correlación: desde $XY=Y,$ % $ $$E(XY)=E(Y)=0=\frac12\cdot0=E(X)E(Y).$la variables $X$ y $Y$ no son independientes: $$P(X=0,Y=0)=P(X=0)=\frac12\ne\frac12\cdot\frac12=P(X=0)P(Y=0).$ $

Answer 3

¿Qué $(X,Y)$ tomando valores $(1,0)$, $(-1,0)$, $(0,1)$ y $(0,-1)$ cada uno con probabilidad $1/4$? $E(X)=E(Y)=0$ $XY=0$, Entonces la covarianza es cero, pero $X$ y $Y$ no son independientes.

Answer 4

Ejemplo muy aburrido: $$\begin{array}{c|ccc} Y \backslash X & -1 & 0 & 1 \\ \hline -1 & p & p & p \\ 0 & p & 1-8p & p \\ 1 & p & p & p \end{matriz}. $$ Entonces las distribuciones marginales son tanto $$\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1 \\ \hline 3p & 1-6p & 3p \end{matriz}, $$ % que $E[X]=E[Y]=0$. Un cálculo similar demuestra $E[XY]=0$, pero una distribución conjunta independiente habría ser el producto de los marginales, $$\begin{array}{c|ccc} & -1 & 0 & 1 \\ \hline -1 & 9p^2 & 3p(1-6p) & 9p^2 \\ 0 & 3p(1-6p) & (1-6p)^2 & 3p(1-6p) \\ 1 & 9p^2 & 3p(1-6p) & 9p^2 \end{matriz}. $$ Es fácil ver esto corresponde a la tabla original precisamente cuando $p=1/9$ o $0$: $p$ cualquier cosa entre $0$ y $1/9$ exclusivo da un contraejemplo.

Answer 5

$X$ es uniforme sobre $[-1,1]$. $Y = |X|$ $E[XY]=0$ ya que es simétrica sobre $0$ $Y$ es uniforme sobre el $[0,1]$. $Y$ dado $X$ es determinista. Por lo que no son independientes.