Prueba falsa inducción

Question

Utilizando el método de inducción:

$(\forall P)[[P(0) \land ( \forall k \in \mathbb{N}) (P(k) \Rightarrow P(k+1))] \Rightarrow ( \forall n \in \mathbb{N} ) [ P(n) ]]$

¿Por qué esta prueba es malo?

$P(x)\equiv (\displaystyle\lim\limits_{a \to x}\sum_{i=0}^{a}\frac{1}{i!}\in\mathbb{Q})$

Base

$P(0)\equiv$ Verdad ?

$P(0)\equiv(1\in\mathbb{Q})\equiv True$

Inducción

$k \in \mathbb{N}$

$P(k)\equiv$ True $\implies P(k+1)\equiv$ Verdad?

$P(k+1)\equiv$ $(\displaystyle\lim\limits_{a \to k}\sum_{i=0}^{a+1}\frac{1}{i!}\in\mathbb{Q}) \implies (\displaystyle\lim\limits_{a \to k}\sum_{i=0}^{a}\frac{1}{i!}+\lim\limits_{a \to k}\frac{1}{(a+1)!}\in\mathbb{Q})\implies (P(k)+\frac{1}{(k+1)!} \in \mathbb{Q})\implies$ Verdadero

Por eso, $P(x)$ es verdadera para todos los $x \in \mathbb{N}$.

Pero,

$\lim\limits_{x \to \infty}{P(x)}\equiv (\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}\lim\limits_{a \to x}\sum_{i=0}^{a}\frac{1}{i!}\in\mathbb{Q})\equiv \lim\limits_{x \to \infty}\sum_{i=0}^{a}\frac{1}{i!}\in\mathbb{Q}\implies e \in \mathbb{Q}$. Pero sabemos $e$ no pertenece a $\mathbb{Q}$.

Así que me gustaría saber, ¿por qué esta prueba falsa no funciona, ¿por qué ejecutar a través de todos los números enteros en $x$ hasta la última, el infinito, la fórmula falla.

Editar: Yo había incluir límites a ampliar el debate.

Answer 1

No, tu afirmación es cierta y funciona la prueba; y es que la racionalidad no es conservado en el límite. La clave es que la declaración es solamente para $n \in \mathbb{N}$, que $\infty \notin \mathbb{N}$--inducción sólo prueba cosas sobre números naturales, cada uno de los cuales es finito (aunque hay un número infinito de ellos).

Answer 2

Me gustaría sugerir una perspectiva diferente sobre el error en el argumento - porque se me ocurrió, no porque nada de lo ya dicho acerca de la inducción y el infinito que está mal.

Si usted construcción de los Números Reales utilizando Dedekind Secciones verá que todo Número Real es el límite de una secuencia de números racionales. Los Números reales son útiles en el Análisis, en parte porque son cerrados bajo tomando límites adecuados, mientras que los Números Racionales no lo son. Así que una manera de mirar el problema con la prueba de ello es que un límite se ha tomado en un contexto inapropiado.

Answer 3

Demostrar es cierto para todos los enteros positivos $P(x)$ $x$. Sin embargo también es cierto que no le permite concluir que $P(\infty)$. Su ejemplo es un testimonio de esta conclusión inválida, ya que se sabe que $e$ no es racional.