¿Alguien me puede ayudar?
¿Cómo puedo demostrar que no es una función continua en todo el mundo $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ que transforma cada racional en un irracional y viceversa?
Respuestas
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Que $\mathbb{I} = \mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}$ y Supongamos que $f(\mathbb{I})\subseteq\mathbb{Q}$. $f(\mathbb{R}) = f(\mathbb{Q})\cup f(\mathbb{I})\subseteq f(\mathbb{Q})\cup\mathbb{Q}$, que es contable. $f$ Es continuo, $f(\mathbb{R})$ está conectado. Así, $f(\mathbb{R})$ es contable y conectado y por lo tanto es un singleton $\{x\}$ $f$ es constante.
Es evidente que ninguna función constante cumple las condiciones que requieren, por lo tanto no hay continua $f$ tal que $f(\mathbb{I})\subseteq\mathbb{Q}$ y $f(\mathbb{Q})\subseteq\mathbb{I}$.
Andreas Blass
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33024
Dado que sólo hay countably muchos números racionales, una función de mapa de los racionales en una contables set $S$ de irrationals. Por lo que sería mapa de todos los números reales en $S\cup\mathbb Q$ (de la asignación de los racionales en $S$ y el irrationals en $Q$). Por otro lado, al ser continua, su función sería necesario asignar los reales (un conjunto conectado) en un conjunto conectado. Pero la única contables conectado conjuntos de reales son los únicos. Por lo que su función tiene que ser constante, lo que se contradice con el requisito de que el mapa racionales a irrationals y viceversa.
kylesethgray
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33
Desde $\mathbb{R}=\cup_{q\in\mathbb{Q}}f^{-1}(\mathbb{q})\bigcup\cup_{q\in\mathbb{Q}}\{q\}$ y $\mathbb{Q}$ es contable entonces Teorema de categoría de Baire dice que $q\in\mathbb{Q}$ tenemos que $f^{-1}(q)$ tiene interior no vacío. Entonces existe un intervalo no vacío $I$ tal que $f$ es constante. Absurda
