Notación integral inusual

Question

Cuando yo estaba aprendiendo de análisis, a menudo me preguntaba por qué yo no podía encontrar nada parecido a $$\iint f(x) (dx)^2$$ en un estándar de cálculo de texto, y concluyó que debería ser de sentido – aunque, ya que podemos diferenciar funciones varias veces, tendría sentido que también se puede integrar en repetidas ocasiones.

Pero luego me topé con esta entrada de blog por el creador de Mathematica, mostrando que Leibniz había notación similar en mente cuando él fue el desarrollo del cálculo, y se enteró de la differintegral operador, con lo que la expresión anterior se parece a $D^{-2}[f(x)]$.

Mi pregunta es, ¿por qué no podemos ver este tipo de notación que a menudo en el análisis básico de los cursos? ¿Cuál es la gráfica de significado de una expresión – es decir, ¿cómo su comportamiento afecta a la forma de $f(x)$? ¿Y cómo se resuelve? Existe aún una clara análogo de la misma, y si es así ¿cuál es su significado geométrico?

Answer 1

como @Mathaholic dijo, si usted escribe las operaciones que intervienen en la integración de una función dos veces, se obtiene:

$$\int \left(\int f(x) dx\right) dx$$

Parece que esto ha sido comprimido a través del siguiente proceso:

$$ \int \left(\int f(x) dx\right) dx \to \int \int f(x) dx dx \to \int \int f(x) (dx)^2$$

Es un poco confuso, ya que me sugiere estamos integrando una sola función sobre el producto Cartesiano $x\times x$. Pero $f$sólo tiene un argumento.

Básicamente, su mezcla de motivos geométricos y operador de notación, como $\frac{d^2}{dx^2}$ se define más en línea con el operador de la teoría. He visto que esta un poco en el análisis de series de tiempo, donde usamos el Backshift $(B)$ operador como una variable:

$$(1-B)Z_t = Z_t - BZ_t = Z_t-Z_{t-1}$$

Una clave del problema teórico en las series de tiempo es encontrar la unidad de "raíces", donde se resuelve expresiones como:

$$(B^2+2B+1) = 0 $$

Para saber si la serie de tiempo:

$$(B^2+2B+1)Z_t$$

Es estacionaria.

Esto es un poco de un desvío, pero me acordé por este ejemplo de cómo el operador de la notación puede ser muy confuso si usted no está acostumbrado.