Explicación intuitiva de bola-definición de continuidad de funciones en espacios métricos

Question

Primero de todo, sombrero de punta a @Fayz para la prestación de esta definición.

Historia: me rompieron mis lentes de hace varios días y, mientras tanto, esta importante definición fue escrito en un tablero que no podía ver. El profesor no está, bueno, bueno... no he entendido aún la esencia de esta definición y que ahora se han ejercicios que utilizan ampliamente.

Deje $(X, d)$ $(Y, e)$ ser métrica espacios, y deje $x \in X$.
Una función de $f : X \to Y $es continua en a $x$ si $\forall\ B \in \mathcal{B}(f(x)),\ \exists A \in \mathcal{B}(x) : f(A) \subseteq B$.

La única cosa que yo sé acerca de esta definición es el hecho de que se utiliza el concepto de bolas en un espacio métrico, una idea con la que estoy muy familiarizado de cursos anteriores:

$$ B(x,\ r) = \{ p \in X : d(x,\ p) < r \} $$

donde $B(x,r)$ es una bola de unos a $x$ radio $r$, e $d$ es una métrica sobre un conjunto $X$.

No sé lo $\mathcal{B}$ se supone debe ser.

¿Alguien puede proporcionar una real explicación de esta definición?

Answer 1

Esto significa que usted puede ir reduciendo la pelota en el espacio de llegada, y siempre encontrará un balón en el espacio de partida, que se encaja allí.

Así que básicamente es la misma idea con la que tienen con el límite de la definición, pero ahora se puede aplicar a los espacios que no implican números reales de cualquier manera. Esta es una definición más general de 'topológica de la definición". Lo que puede ser utilizado en una estructura con menos supone propiedades (i.e un espacio topológico). Un espacio topológico se supone muy poco de propiedades.

Decimos que $X$ con una colección de subconjuntos de $X$, $T$ que satisface las condiciones:

1) El conjunto vacío es en $T$

2) $X$ $T$

3) la intersección de un número finito de elementos de $T$ $T$

4) La unión de un número arbitrario de elementos en $T$ $T$

es un espacio topológico. Y llamamos a los elementos de $\text{ } T$ abierto conjuntos.

No es que en un espacio topológico puede definir una pelota sin tener una distancia definida. Mientras que en la definición estándar de la continuidad necesitamos una manera de medir la distancia.

Por lo tanto, en agregar una norma para el espacio topológico, ambas definiciones son equivalentes. Y, de hecho, se puede deducir las mismas propiedades. Como por ejemplo la muy agradable propiedad ($f$ es continua si y sólo si la anti-imagen de un ser abierto es un conjunto abierto).

En ambas definiciones, la idea es la misma, cuando el enfoque de " un lugar de espacio tanto como usted desea, las imágenes de su función de abordaje a la imagen de ese lugar. Ahora el lugar no tiene que ser un punto, ya que no hay puntos en un espacio topológico. Y usted no puede ser capaz de medir la velocidad de tu acercarse, ya que no hay distancy en general.

Answer 2

Una definición de funciones continuas entre espacios métricos es como sigue:

Deje $(X,d)$ $(Y,e)$ ser métrica espacios, y $x\in X$. Una función de $f:X\to Y$ es continua en a $x$ si $\forall \epsilon>0$, $\exists \delta>0$ tal que $f(B_d(x,\delta))\subset B_e(f(x),\epsilon)$.

Aquí $B_d(x,\delta)=\{p\in X:d(x,p)<\delta\}$, una bola de radio $\delta$$x\in X$, y $B_e(f(x),\epsilon)=\{q\in Y:e(f(x),q) <\epsilon\}$, una bola de radio $\epsilon$$f(x)\in Y$.

(Nota: puede que esté más familiarizado con esta versión equivalente: $f:X\to Y$ es continua en a $x$ si $\forall \epsilon>0$, $\exists \delta>0$ tal que cuando por $z\in X$$d(x,z)<\delta$,$e(f(x),f(z)) < \epsilon$.)

Así que para interpretar su declaración, el primer $\cal B(f(x))$ representa la colección de todos los posibles abierto las bolas sobre el punto de $f(x)\in Y$$\cal B(f(x))=\{B_e(f(x)):\forall\epsilon>0\}$, e $\cal B(x)$ representa la colección de todos los posibles abierto bolas acerca de $x\in X$$\cal B(x)=\{B_d(x,\delta):\forall \delta>0\}$.

De ahí la afirmación "$\forall B\in{\cal B(f(x))}, \exists A\in {\cal B(x)}:f(A)\subset B$" se lee como: para cualquier abierto balón $B$ sobre el punto de $f(x)$ (de cualquier radio, decir $\epsilon$), podemos encontrar algunos de abrir balón $A$ $x\in X$ (de radio de decir $\delta$) para que la imagen $f(A)$ encaja en $B$.