Fronteridad de operadores bilineal continuados

Question

Deje $T:X \times X \to \mathbb{R}$ ser continua y un operador bilineal definida en una normativa espacio lineal $X$ s.t.

$T(\alpha x + \beta y,z) = \alpha T(x,z) + \beta T(y,z)$) y $T(x,y) = T(y,x)$.

¿Existe un constante $C$ s.t. $||T(x,y)|| \leq C$ $||x||$ $||y|| \forall x,y$?

Sé que el resultado es true si $X$ $Y$ completa los espacios, mediante el acotamiento uniforme principio en $T$ como una función continua de x para los fijos y (y/o al revés).

Sin embargo, no estoy seguro de si la integridad es necesaria, puesto que es cierto que un operador lineal continuo $T: X \to \mathbb{R}$ tiene la propiedad de $||T(x)|| \leq C ||x|| \forall x$ sobre cualquier normativa espacio lineal $X$ (aunque lineales y bilineales operadores no son exactamente los mismos).

Answer 1

Creo que esto puede mostrar utilizando el mismo argumento que en los operadores lineales continuos. Puesto que T es continuo, $U=T^{-1}( (-1,1) )$ está abierto y contiene $(0,0)$. encontrar un c > 0 suficientemente pequeño tal que si $|x|,|y|\leq c$ y $(x,y)\in U$ y luego un punto general (x, y)

$|T(x,y)| = |T(\frac{c x}{|x|} \frac {|x|}{c}, \frac{c y}{|y|} \frac {|y|}{c} )| = \frac {|x||y|}{c^2} |T(\frac{c x}{|x|} , \frac{c y}{|y|})| \leq \frac {|x||y|}{c^2}$

Si x = 0 o y = 0 entonces T (x, y) = 0 por lo que usted puede utilizar el argumento por encima de $x,y \neq 0$.