demostrar $\sqrt{a_n b_n}$ $\frac{1}{2}(a_n+b_n)$ tienen el mismo límite

Question

me da este problema:
vamos $a\ge0$,$b\ge0$, y las secuencias de $a_n$ $b_n$ se define de esta manera: $a_0:=a$, $b_0:=b$ y $a_{n+1}:= \sqrt{a_nb_n}$ $b_{n+1}:=\frac{1}{2}(a_n+b_n)$ todos los $n\in\Bbb{N}$

Probar es que ambas secuencias convergen y que tienen el mismo límite. No sé cómo mostrar este. he pasado 2 horas en esto, no hay ningún signo de éxito

Answer 1

La manera más fácil de proceder, es mostrar que la $ b_{n+1} - a_{n+1} = \frac {1}{2} (\sqrt{b_{n}} -\sqrt{ a_{n}})^2$$ b_{n} \geq a_{n} \forall n \geq 2$. A continuación, $a_{n+1} = \sqrt{a_n b_n} \geq a_n$ es una secuencia progresión (después de $n=2$). $b_{n+1} = \frac {1}{2} (a_n + b_n) \leq b_n$ es un monotomically la disminución de sequnece (después de $n=2$). Finalmente, $$ b_{n+1} - a_{n+1} = \frac {1}{2} (\sqrt{b_{n}} -\sqrt{ a_{n}})^2 \leq \frac {1}{2} (\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n} ) ( \sqrt{b_n} + \sqrt{a_n} ) = \frac {1}{2} ( b_n - a_n) \leq \frac {1}{2^n} (b_1-a_1),$$ de modo que la diferencia entre las secuencias de ir a 0. Por lo tanto, estas secuencias convergen al mismo límite.

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Nota: por supuesto, podríamos mostrar que desde $a_i \leq b_2$, el límite de $a_i$ existe (desde monótono+acotada). Pero yo creo que es más divertido para saltar directamente a la conclusión de que con el paso final.

Answer 2

Esta no es una respuesta. Sólo un comentario largo que da una clásica fórmula de Gauss para este límite.

Vamos $a$, $b$ ser números reales con a $a<b$. Definimos su aritmética-media geométrica $M(a,b)$ el uso de las secuencias $a_n$, $b_n$ se define de la siguiente manera: $a_0=a$, $b_0=b$ y de manera inductiva

$$ a_{n+1}={ a_n +b_n \over 2}, \qquad b_{n+1}=\sqrt {a_n b_n }\ . $$

Las dos secuencias convergen a un unigue comunes límite de $M(a,b)$. Gauss descubrió una hermosa fórmula para $M(a,b)$ que puede ser expresada como una integral elíptica

$$ { 1 \over M(a,b)} = { 2 \\pi} \int_0^{ { \pi \over 2}} { d \theta \\sqrt{ a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta}} \ . $$

Answer 3

Si $a_n\to l$ $b_n \to s$ $b_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n+b_n)$ obtenemos $s=\frac{1}{2}(l+s)\cdots$
Para demostrar que convergen uso de la aritmética y la media geométrica de la desigualdad a mostrar ( $a_n\leq b_n$ , etc ...) son monótona ($a_n$ es creciente y $b_n$ de disminución). De $a_n\leq b_n$ a la conclusión de que son acotados.