¿Cómo solucionarlo?

Question

A partir de algunas de las igualdades que terminó con la comprensión de que:

$$\int_0^{+\infty}\,ax\,J_0(ax)\,dx = 1$$

con $J_0(ax)$ la función de bessel de primera especie y $a>0$. Pero no sé cómo demostrarlo. He intentado utilizar la serie representación de $J_0(ax)$, sin ningún éxito!

Gracias!

$\mathbf{EDIT}$

Tuve que calcular la siguiente integral doble:

$$2b\int_0^{+\infty}dR\int_0^{+\infty}dk\,J_0(k\sqrt{R})\,k\,\exp(-bk^2)$$

con $b>0$. Así que si soy la primera integrar en $k$, obtengo:

$$\int_0^{+\infty}dR\,\exp\left(-\frac{R}{4b}\right)=4b$$

desde

$$2b\int_0^{+\infty}dk\,J_0(k\sqrt{R})\,k\,\exp(-bk^2)=\exp\left(-\frac{R}{4b}\right)$$.

Ahora, si puedo integrar primera en $R$, tengo:

$$2b\int_0^{+\infty}dk\,\left[\int_0^{+\infty}dRJ_0(k\sqrt{R})\right]\,k\,\exp(-bk^2)=4b$$

lo que significa que

$$\int_0^{+\infty}dk\,\left[\int_0^{+\infty}dRJ_0(k\sqrt{R})\right]\,k\,\exp(-bk^2)=2$$

De esto se sigue que $\int_0^{+\infty}dRJ_0(k\sqrt{R})\neq0$???

Answer 1

La declaración es falsa - no converge la integral como se indica. Para ver esto, use la ecuación diferencial define $y = J_0(x)$:

$$x y'' + y' + x y = 0$$

Para

$$(x y')' = -x y \implies x y' = -\int dx \, x y$$

o

$$\int dx \, x J_0(x) = x J_1(x) + C$$

o

$$a \int dx \, a x J_0(a x) = a x J_1(a x) + C$$

El lado derecho va a $\infty$ $x \to \infty$.

EDITAR

Como fue señalado, la declaración anterior no es cierto. El integral de no converge, porque el lado derecho es oscilatorio con una amplitud divergente.

Answer 2

$$J_0(x) \approx \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos(x-\pi/4) \quad \text{For large } x $$

El integrando se va a volar en $\infty$ así que sospecho que la integral diverge.

Answer 3

Nota: La pregunta publicado por el OP está mal. Ver mis comentarios a la OP debajo de su post. No hay ningún punto de downvoting esta respuesta. Se corrige el OP pregunta. Esta respuesta para

$$ \int_{0}^{\infty} aJ_{0}(ax) dx =1 .$$

Un enfoque es el uso de la transformada de Mellin $J_{0}(ax)$, que está dada por

$$ F(s) = \frac{1}{2}\,{\frac { \left( a/2 \right) ^{s}\Gamma \left( s/2 \right) }{\Gamma \left( 1-s/2 \right) }}\,\quad 0< Re(s) < 3/2 .$$

Para encontrar el por encima de mellin de transformación, verificación de Mellin transformar tablas. Ahora, teniendo el límite de $s$ $1$ da

$$ \lim_{s\to 1} F(s) = \frac{1}{a} .$$

Nota: El Mellin de transformación está dada por

$$ F(s) = \int_{0}^{\infty} x^{s-1} f(x) dx . $$