Intercambio de límite e integral con redes

Question

En topología, hemos visto que hay ejemplos de redes para que la convergencia monótona y dominada no se mantenga.

En particular, trabajamos con la red $\mathfrak{F}$ que contiene subconjuntos finitos de $[0,1]$ ordenados por inclusión. Utilizamos la medida de Lebesgue $\lambda$ restringido a $[0,1]$ .

La red $(\chi_F)_{F \in \mathfrak{F}}$ es monótonamente creciente y está dominado por $\chi_{[0,1]}$ . $(\chi_F)_{F \in \mathfrak{F}}$ converge puntualmente a $\chi_{[0,1]}$ también.

Pero $\lim_{F \in \mathfrak{F}} \int \chi_F d\lambda ≠ \int \chi_{[0,1]} d\lambda$ .

¿Existen propiedades/restricciones de la propia red (excepto las elaboradas por David C. Ullrich más adelante) o de la medida que amplíen la intercambiabilidad de límite e integral a las redes?

---

Algunas de mis ideas sobre la convergencia monótona: El problema es que no podemos ordenar las funciones que tenemos para que sea monótona como se acostumbra cuando se trata de números naturales como índice. Pero al menos tenemos un conjunto dirigido. ¿Tienes alguna idea de cómo restringir las funciones en la red para conseguir un comportamiento similar a la monotonicidad? Tengo la impresión de que sí, porque las funciones monótonas sólo tienen puntos de discontinuidad contables llamándolas $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ Al menos en $\mathbb{R}$ que puede ser utilizado para recoger algunas funciones de la red.

Definir un conjunto: $\{]a_i, \infty[;$$ a_i $ point of discontinouity$\}$ and taking a look at its $\sigma$-Algebra, introducing an ordering there via inverse inclusion ($ A ≤ B \Leftrightarrow A \supseteq B $). Adding $ { \infty }$ a este conjunto, podríamos encontrar un conjunto dirigido. (sólo algunas ideas... para continuar)

Answer 1

Dudo que haya una condición natural en las redes incontables que vaya a funcionar. Las redes contables están bien; si el argumento que sigue muestra que esto es "obvio" dependerá del lector.

Las redes contables están bien porque realmente no se consigue nada con las redes contables que no se pueda conseguir con las secuencias.

Más precisamente, cualquier conjunto dirigido contable contiene una secuencia cofinal creciente.

Ampliando lo anterior: Digamos que $A=(\alpha)$ es un conjunto dirigido contable. Existe una secuencia $(a_n)\subset A$ tal que $\alpha_{n+1}\ge \alpha_n$ y tal que para cada $\alpha\in A$ existe $n$ con $\alpha_n\ge \alpha$ .

(Por lo tanto $\lim_\alpha x_\alpha=L$ implica $\lim_nx_{\alpha_n}=L$ .)

Prueba. Digamos que $A=(\beta_1,\beta_2\,\dots)$ . Dejemos que $\alpha_1=\beta_1$ . Habiendo elegido $\alpha_n$ , elija $\alpha_{n+1}\in A$ tal que $\alpha_{n+1}\ge\alpha_n$ y también $\alpha_{n+1}\ge\beta_k$ , $1\le k\le n$ .