¿Cuando diferenciales son realmente útiles?

Question

Creo que de las diferencias como una forma de aproximar $\Delta y$ en función de $y = f(x)$ durante un cierto $\Delta x$.

La manera en que yo la entendía, la derivada en sí no es una relación, porque usted no puede conseguir a $\frac{dy}{dx}$ tomando el cociente de los límites del numerador y el denominador por separado.

Sin embargo, una vez que lo ha $\frac{dy}{dx}$, a continuación, puede pensar de $dx$ $\Delta x$ e de $dy$ como el cambio en $y$ pendiente $\frac{dy}{dx}$ por encima de un cierto $\Delta x$.

Mi problema es que no sé por qué diferenciales son útiles. Los ejemplos que he visto, son a lo largo de las líneas de aproximar el máximo error en una esfera de volumen si sabemos que la radio se nos ha dado (digamos 20) tiene un posible error de 0.01.

En este tipo de ejemplo, me parece que estamos mejor computing $V(20.01) - V(20)$, en lugar de $\Delta V \approx dV = V' \cdot \Delta x$.

En el primer caso al menos conseguimos un exacto máximo de error en lugar de una aproximación.

Así que mi pregunta es: Cuando los diferenciales realmente útil? Son ellos nunca nada más que en el mejor de los casos un ahorro de tiempo de más de la mano de los cálculos? Son útiles en todo en el mundo de hoy con Wolfram Alpha y otros fuertes computacional motores de alrededor?

Answer 1

Un pre-cálculo responder Lo que si se le pregunta de una relación? Por ejemplo, el ingreso marginal de la tasa fiscal. Deje $T(x)$ en su declaración de impuestos que usted necesita para pagar, donde x es su ingreso. Usted puede, por supuesto, imprimir todos los valores posibles en la pila de papeles - $$T(1) = 0.1, \space\space T(2)=0.2,\space\space ...\space\space T(10000) = 1100,\space\space T(10001) = 1100.15,\space\space ...\space\space T(50000) = 4600,\space\space T(50001) = 4600.25,\space\space ...$$ ¡Qué lío! Es mucho más fácil decir $$T'(x) = 10\% (x < 8000), 15\% (8000 < x < 30000), 25\% (x > 300000)$$. Además, a veces, la proporción es de todas las personas. Por ejemplo, cuando la policía le está dando una multa por exceso de velocidad, no importa la cantidad de millas que pasó, pero es la velocidad (diferencial entre la distancia y el tiempo).

Un cálculo responder En algunos casos, con el fin de obtener una respuesta precisa, usted necesita para hacer integraciones en el siempre cambiante y resolver ecuaciones diferenciales cuando la relación es de interdependencia. Por ejemplo, cuando usted está tratando de cuanta distancia se una roca espacial de la cubierta antes de que se quema (por lo tanto, determinar si se golpeó la tierra), la velocidad afecta el calor generado, lo que afecta el tamaño de la roca, lo que afecta el área de la superficie de la roca, que a su vez afecta a la velocidad. Este problema es insolvable si el concepto de $\frac{dy}{dx}$ nunca fueron introducidas.

Answer 2

La lista es interminable, ya que los comentarios han comenzado a indicar.

Un ejemplo de una importante aplicación en el mundo real, en el que literalmente trillones de dólares por día depende, viene de la gestión del riesgo (cobertura) de los contratos de derivados, desde el punto de vista de un gran banco o distribuidor. Dicen que llame Goldman Stanley capital turística para la compra de la equidad de una opción call, donde el subyacente de la equidad tiene continuamente un precio de mercado cotizado de $S_{t}$ y la fijación de precios función por la derivada del contrato es $f(S_{t},t)$ (al menos de acuerdo a los modelos de fijación de precios del distribuidor depende y usos), entonces el "delta" de la derivada es $$\frac{\partial f}{\partial S}(S(t),t)$$ y representa un primer orden de aproximación de la cantidad de riesgo que la banca tiene de la opción de venta a su cliente (es decir, como una primera aproximación, se cuantifica cuánto dinero el distribuidor va a ganar o perder al $S$ cambia en una cantidad $\Delta S$). En particular, $$\Delta f_{t}\approx\frac{\partial f}{\partial S}\Delta S_{t}.$$ El creador de mercado es así que constantemente la compra y venta de $|\partial f/\partial S|$ del activo subyacente con el fin de cubrir (eliminar $S$-riesgo de su exposición. Ellos hacen dinero de los costos de transacción iniciales/propaga, a condición de que efectivamente ejecutar la estrategia de cobertura, y evitar tomar apuestas de que su posición corta estará en el dinero y sus clientes "posición larga" fuera del dinero".

Obviamente, este diferencial es sólo una aproximación de primer orden (y estamos ignorando la dependencia de $t$). Para neutralizar el riesgo, incluso de manera más eficaz, los comerciantes también tratamos de ser "gamma neutral" además de la "delta neutral" mediante el ajuste de su estrategia de cobertura de acuerdo a la segunda orden de aproximación $$\Delta f_{t}\approx\frac{\partial f}{\partial S}\Delta S_{t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}f}{\partial S^{2}}(\Delta S)^{2}.$$

Otros diferenciales de que los comerciantes que comúnmente se usan para administrar su riesgo de involucrar a las cantidades de "vega", "encanto", etc., estos apodos acaba de ser lindo comerciante-hablar por las derivadas parciales de la función de fijación de precios con respecto a otras variables del mercado de la que depende, incluyendo la volatilidad, el tiempo, etc., respectivamente.

Answer 3

Optimización, análisis de función, cómputos (los equipos necesitan tener un enfoque general a diferencia de los seres humanos), aplicaciones financieras y económicas, ingeniería, simplificando la expresión... la lista es literalmente interminable.