Encontrar la fracción continuada de la raíz cuadrada de un entero dado

Question

¿Cómo encontrar la fracción continua de $\sqrt{n}$, para un entero $n$?

Vi un sitio donde explica, pero se requiere una calculadora. ¿Es posible hacerlo sin una calculadora?

Answer 1

Vamos a tratar, por ejemplo, $\sqrt5$:

Desde ese $2\lt\sqrt5\lt3$, el primer término es $2$. Restar $2$ invertir: $$ \frac1{\sqrt5-2}=\sqrt5+2 $$ Desde $4\le\sqrt5+2\le5$, el siguiente término es $4$. Restar $4$ invertir: $$ \frac1{\sqrt5+2-4}=\sqrt5+2 $$ Estamos en el mismo punto que la línea anterior. Por lo tanto, la continuación de la fracción es $$ (2;4,4,4,4,\dots) $$ Vamos a tratar de $\sqrt3$:

Desde $1\lt\sqrt3\lt2$, el primer término es $1$. Restar $1$ invertir: $$ \frac1{\sqrt3-1}=\frac{\sqrt3+1}{2} $$ Desde $1\lt\frac{\sqrt3+1}{2}\lt2$, el siguiente término es $1$. Restar $1$ invertir: $$ \frac2{\sqrt3+1-2}=\sqrt{3}+1 $$ Desde $2\lt\sqrt3+1\lt3$, el siguiente término es $2$. Restar $2$ invertir: $$ \frac1{\sqrt{3}+1-2}=\frac{\sqrt3+1}2 $$ y estamos de vuelta a donde estábamos nosotros dos líneas atrás. Por lo tanto, la continuación de la fracción es $$ (1;1,2,1,2,1,2,\dots) $$ En general, puede que tengamos que ir varias líneas antes de obtener el mismo resto. Se puede demostrar que las raíces de cualquier ecuación cuadrática polinomio con coeficientes enteros dar una repetición continua de la fracción. Por lo tanto, nosotros, en algún punto, se obtiene el mismo resto.

Answer 2

La clave está en encontrar recíprocos, usando conjugados. Por ejemplo, el recíproco de $\sqrt{7}-2$ es $\frac{\sqrt{7}+2}3$, que puede comprobar multiplicando los dos juntos. Para comenzar con,
$$\sqrt{7}=2+(\sqrt{7}-2)\\=2+\frac{1}{\frac{\sqrt{7}+2}3}\\=2+\frac{1}{1+\frac{\sqrt{7}-1}3}$$
Llevar a cabo como eso. Sólo necesita saber que $\sqrt{7}$ es entre 2 y 3 para obtener el entero correcto en cada etapa.

Answer 3

La manera más fácil encontrar una continuación de la fracción de $\sqrt{n}$ es de uso generalizado continuó fracción (fracciones continuas en donde el numerador es algo además de 1).

A partir de $\sqrt{n}$, partición de ${n}$ como la suma del cuadrado perfecto, que es menos que o igual a ${n}$, ${s^{2}}$, y un resto, ${r}$, así: $\sqrt{s^{2} + r}$.

La generalización de la continuación de la fracción de esta respuesta siempre será:

$$ \sqrt{s^{2} + r} = s + \frac{r}{2s+\frac{r}{2s+\frac{r}{2s+\frac{r}{2s+\frac{r}{2s+\ddots}}}}} $$

...o, en Gauss' Kettenbruch notación:

$$ \sqrt{s^{2} + r} = s + \underset{i=1}{\desbordado{\infty}{\LARGE\mathrm K}}\frac{r}{2} $$

Por ejemplo, ¿cuál es la generalizada continuó fracción de $\sqrt{21}$? $\sqrt{21} \ = \ \sqrt{16 + 5} \ = \ \sqrt{4^{2} + 5}$, así, la generalización de la continuación de la fracción es:

$$ \sqrt{21} = 4 + \frac{5}{8+\frac{5}{8+\frac{5}{8+\frac{5}{8+\frac{5}{8+\ddots}}}}} $$

..o..

$$ \sqrt{21} = 4 + \underset{i=1}{\desbordado{\infty}{\LARGE\mathrm K}}\frac{5}{8} $$

Aquí está cómo para comprobar esto en Wolfram|Alpha: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%284%2B%28ContinuedFractionK%5B5%2C+8%2C+%7Bi%2C+1%2C+infinity%7D%5D%29%29%5E2

Usted no tiene que elegir un cuadrado perfecto, menos de o igual a $n$, sin embargo. Usted puede elegir un cuadrado perfecto más grande que $n$. $\sqrt{21} \ = \ \sqrt{25 - 4} \ = \ \sqrt{5^{2} - 4}$, que se convierte en:

$$ \sqrt{21} = 5 - \frac{4}{10-\frac{4}{10-\frac{4}{10-\frac{4}{10-\frac{4}{10-\ddots}}}}} $$

Incluso se podría hacer de esta manera: $\sqrt{21} \ = \ \sqrt{\pi^{2} + (21 - \pi^{2})}$, lo que da el resultado:

$$ \sqrt{21} = \pi + \frac{21 - \pi^{2}}{2\pi+\frac{21 - \pi^{2}}{2\pi+\frac{21 - \pi^{2}}{2\pi+\frac{21 - \pi^{2}}{2\pi+\frac{21 - \pi^{2}}{2\pi+\ddots}}}}} $$

Para obtener más información sobre la continuación de las fracciones y raíces, leer Manny Sardina del Método General para la Extracción de Raíces utilizando (Doblada) Fracciones continuas: http://myreckonings.com/Dead_Reckoning/Online/Materials/General%20Method%20for%20Extracting%20Roots.pdf

Answer 4

Si tu $n$ no es un cuadrado perfecto, te mostraré con un ejemplo. Considerar $\sqrt{23}.$ $$\sqrt{23}\approx4.8$$ Here I denote successive irrational by $x_k$ and it's integer part by $a_k.$ $$x_0=\sqrt{23}=4+(\sqrt{23}-4)\rightarrow \,\ a_0=4$ $ $$x_1=\dfrac{1}{x_0-a_0}=\dfrac{1}{\sqrt{23}-4}=\dfrac{\sqrt{23}+4}{7}=1+\dfrac{\sqrt{23}-3}{7}\rightarrow \,\,a_1=1$ $ $$x_2=\dfrac{1}{x_1-a_1}=\dfrac{7}{\sqrt{23}-3}=\dfrac{\sqrt{23}+3}{2}=3+\dfrac{\sqrt{23}-3}{2}\rightarrow \,\ a_2=3$ $ $$x_3=\dfrac{1}{x_2-a_2}=\dfrac{2}{\sqrt{23}-3}=\dfrac{\sqrt{23}+3}{7}=1+\dfrac{\sqrt{23}-4}{7}\rightarrow \,\,a_3=1$ $ $$x_4=\dfrac{1}{x_3-a_3}=\dfrac{7}{\sqrt{23}-4}=\sqrt{23}+4=8+(\sqrt{23}-4)\rightarrow \,\,a_4=8$ $

Si continúas tus cálculos que se puede demostrar que $x_5=x_1,$ también $x_6=x_2,\,\ x_7=x_3$ que significa que el bloque de números enteros $1, 3, 1, 8$ se repite indefinidamente.
Por lo tanto, nos encontramos con la infinita fracción continua periódica de $\sqrt{23}$ con la forma $$\sqrt{23}=[4, 1, 3, 1, 8, 1, 3, 1, 8, 1, 3, 1, 8, ...=[4;\overline{1, 3, 1, 8,}].$ $

Creo que, ahora usted puede entender cómo podríamos hacerlo.