Clases GACION en $SU_2$

Question

Estoy tratando de encontrar todas las clases conjugacy en $SU_2$.

Matrices en $SU_2$ son de la forma:

$M = \begin{bmatrix} \alpha & \beta \\ - \bar{\beta} & \bar{\alpha} \end{bmatrix}$ and $|\alpha|^2+|\beta|^2 =1$

Pensé que podría utilizar Jordania descomposición a hacer esto y esto es lo que tengo hasta ahora:

$W(M) = X^2 - trM \cdot X + \det M = X^2 - (\alpha + \bar{\alpha})X + 1$

así que los valores propios son: $\lambda_{1} = \frac{\alpha + \bar{\alpha} + \sqrt{(\alpha + \bar{\alpha})^2 +4}}{2}, \ \ \lambda_{2} = \frac{\alpha + \bar{\alpha} - \sqrt{(\alpha + \bar{\alpha})^2 +4}}{2}$.

1) $\lambda_1 \neq \lambda_2$ si $(\alpha + \bar{\alpha})^2 \neq 4, \ \ \alpha = a+bi, \ \ a \neq \sqrt{2}, - \sqrt{2} $

y, a continuación, $M$ es diagonizable y $M = S\begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{bmatrix} S^{-1}$

2) a) si $\beta=0, (\alpha + \bar{\alpha})^2 = 4$, $M$ es la diagonal

b) si $\beta=0, (\alpha + \bar{\alpha})^2 \neq 4$, $M$ no es diagonizable y $M = S\begin{bmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{bmatrix} S^{-1}$

Pero con el fin de encontrar clases conjugacy necesito los $S \in SU_2$ y no sé qué hacer a continuación. Tal vez hay una mejor forma de abordar este problema?

Voy a estar agradecida por toda su ayuda.

Actualización:

Si dejamos $S = \begin{bmatrix} x & y \\ - \bar{y} & \bar{x} \end{bmatrix} $

a continuación, en el caso 1) $de SMS^{-1} = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix}$ y después de la multiplicación de esas matrices tengo estas cuatro ecuaciones:

$\bar{xy}(\bar{\alpha} - \alpha) + \bar{\beta} (\bar{x})^2 + \beta (\bar{y})^2=0$

$xy(\bar{\alpha} - \alpha) + \beta x^2 + \beta y^2=0$

$\bar{\alpha} y \bar{y} + \alpha x \bar{x} + \beta \bar{y} x - \bar{\beta} y \bar{x} = \lambda_1$

$\bar{\alpha} y \bar{y} + \alpha x \bar{x} - \beta \bar{y} x + \bar{\beta} y \bar{x} = \lambda_2$.

Podría dichas ecuaciones ser útil?

Answer 1

Desde el polinomio característico de cualquier matriz $A \in SU(2)$ tiene coeficientes reales, sus autovalores son complejos conjugados $\lambda, \bar{\lambda}$; desde $\lambda \bar{\lambda} = \det A = 1$, los valores propios son $e^{i \theta}, e^{-i \theta}$ para algunos únicas $\theta \in [0, \pi]$.

Si dos matrices son de la misma clase conjugacy, son similares y por lo tanto tienen los mismos autovalores. Por lo tanto, todos los de la diagonal de las matrices $$\begin{pmatrix} e^{i \theta} & 0 \\ 0 & e^{-i\theta} \end{pmatrix} \in SU(2), \qquad \theta \in [0, \pi],$$ están en clases distintas.

Por el contrario, desde cualquier $A \in SU(2)$ es normal, por el Teorema Espectral es unitarily equivalente (conjugada a través de un elemento de $U(2)$) a una matriz diagonal, que debe ser de la forma anterior. De hecho, se puede mostrar fácilmente que es conjugado a través de un elemento de $SU(2)$, por lo que las clases que contiene la diagonal de las matrices en realidad escape de las clases conjugacy.

Edición a Través de la identificación $$\begin{pmatrix}\alpha & \beta \\ -\bar{\beta} & \alpha\end{pmatrix} \leftrightarrow (\alpha, \beta)$$ podemos considerar $SU(2)$ como el subconjunto de $\mathbb{C}^2$ que $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$, es decir, como la unidad de la esfera de $\mathbb{S}^3 \subset \mathbb{R}^4 \cong \mathbb{C}^2$.

Como @No señaló en su comentario, el conjugacy clases son latitud $2$-esferas en $\mathbb{S}^3$ (a excepción de los polos norte y sur, que son singleton clases). Hay varias maneras de ver esto, y he aquí uno:

Podemos descomponer cualquier elemento $(\gamma, \delta)$ $\mathbb{C}^2$ $$(\gamma, \delta) \leftrightarrow \Re \gamma + (\Im \gamma + \delta) \in \mathbb{R} \oplus \mathbb{R}^3,$$ and $\Re \gamma$ corresponde a una verdadera matriz diagonal.

Ahora, $SU(2)$ actúa en $\mathbb{C}^2$ por conjugación, pero observe que para cualquier matriz diagonal, decir la correspondiente a $(\gamma, 0)$, tenemos $$\begin{pmatrix}\alpha & \beta \\ -\bar{\beta} & \alpha\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\gamma & 0\\ 0 & \gamma\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha & \beta \\ -\bar{\beta} & \alpha\end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix}\gamma & 0\\ 0 & \gamma\end{pmatrix}.$$ In other words, the conjugation action of $SU(2)$ on $\mathbb{C}^2$ revisiones de cada una matriz diagonal.

Por otro lado, podemos ver que la conjugación de la acción de los mapas de cualquier elemento de $\mathbb{R}^3$ (es decir, cualquier elemento $(\lambda, \mu) \in \mathbb{C}^2$$\Re \lambda = 0$) a un elemento, por lo $SU(2)$ actúa en $\mathbb{R}^3$ por conjugación. De hecho, es fácil mostrar que la conjugación de la acción de $SU(2)$ $\mathbb{C}^2$ preserva la forma cuadrática $(\lambda, \mu) \mapsto |\lambda|^2 + |\mu|^2$, por lo que conserva su restricción a $\mathbb{R}^3$, que es el habitual de normas plaza. Esto define un mapa de $SU(2) \to SO(3)$, y en el hecho de que podemos mostrar es una cubierta doble; en particular, $SU(2)$ actúa transitivamente sobre $\mathbb{R}^3$.

En resumen, la clase conjugacy de $$\begin{pmatrix}\alpha & \beta \\ -\bar{\beta} & \alpha\end{pmatrix} \in SU(2)$$ consiste de exactamente los elementos $$\begin{pmatrix}\alpha' & \beta' \\ -\bar{\beta}' & \alpha'\end{pmatrix} \in SU(2)$$ tal que $$\Re \alpha = \Re \alpha',$$ pero esto es sólo la intersección de $SU(2) \cong \mathbb{S}^3$ con un hyperplane con coordinar $\Re \alpha$.

Comentario gran parte de lo anterior se puede decir de una manera más limpia en el lenguaje de los cuaterniones $\mathbb{H}$, que he evitado arriba porque la gente a menudo se encuentran $SU(2)$ antes de hacer cuaterniones: En resumen, la regla de la multiplicación del grupo para $SU(2)$ puede ser identificado con la multiplicación de (unidad) cuaterniones, la división de $\mathbb{C}^2 \cong \mathbb{R} \oplus \mathbb{R}^3$ es sólo la descomposición de la $\mathbb{H}$ en partes real e imaginaria, y estos son los irreductible subrepresentations de $\mathbb{H}$ considerado como un $SU(2)$-módulo bajo la conjugación de la acción. Entonces, las clases conjugacy (las órbitas bajo la conjugación de la acción) son las intersecciones de la unidad de la esfera de $SU(2) \cong \mathbb{S}^3$ con el hyperplanes con dado (quaternionic) parte real.