¿Por qué un coeficiente de reflexión negativo corresponde a una diferencia de fase de $\pi$ ?

Question

Como ejemplo utilizaré las ecuaciones de Fresnel: $$t_{p,s}=\frac{2\cos\theta^i}{\cos\theta^{t,i}+\frac{n_2}{n_1}\cos\theta^{i,t}}\tag{T}$$

$$r_{p,s}=\frac{\cos\theta^{t,i}-\frac{n_2}{n_1}\cos\theta^{i,t}}{\cos\theta^{t,i}+\frac{n_2}{n_1}\cos\theta^{i,t}}\tag{R}$$

Los subíndices en el LHS de $(\mathrm{T})$ & $(\mathrm{R})$ ; $p,s$ están vinculados a los superíndices $t,i$ en el lado derecho de $(\mathrm{T})$ & $(\mathrm{R})$ . En el sitio web $p$ denota la componente del campo eléctrico paralela al plano de incidencia (que es la página/pantalla), $s$ es la componente perpendicular del campo eléctrico al plano de incidencia. Los superíndices $i$ , $t$ denotan incidencia y transmisión respectivamente.

Con una incidencia normal $\theta^i=\theta^t=0$ y así $$r_p=r_s=r=\frac{E^r}{E^i}=\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\tag{N}$$

Si consideramos el caso simple de la luz que incide normalmente desde el aire ( $n_1 \approx 1$ ) al vidrio ( $n_2\approx 1.5$ ) entonces:

$$\color{blue}{\fbox{$ \frac{E^r}{E^i}=-0,2 $}}$$

Ahora es cuando empieza mi principal pregunta: Según todas las fuentes que encuentro, suelen decir que "la razón del signo menos es que hay una diferencia de fase de $\pi$ entre la onda reflejada y la onda incidente".

Walter Lewin utilizó el mismo cálculo que en $(\mathrm{N})$ y llegó a la casilla que marcaba en azul y preguntó a su público "¿Cuál es el significado del menos?" Que se puede ver en $53$ min en su conferencia "8.03 - Lect 18 - Índice de refracción, reflexión, ecuaciones de Fresnel, ángulo de Brewster". Uno de sus alumnos respondió que el significado del menos es $180^{\circ}$ diferencia de fase. A continuación, Walter refuerza que el menos significa $\pi$ diferencia de fase y dio un razonamiento intuitivo (heurístico) para ello (que lamentablemente no responde a mi pregunta aquí).

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He aquí un breve extracto de mis notas de clase:

El texto que he adjuntado en rojo para esos dos puntos requiere justificación. ¿Por qué "positivo" implica "en fase" y "negativo" implica "diferencia de fase de $\pi$ '?

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Por último, me gustaría entender por qué se produce el cambio de signo en la curva de $r_p$ ya que es la única relación entre reflexión e incidencia que realmente cruza el $\theta_i$ eje:

Mirando el gráfico de la izquierda me dicen que la diferencia de fase

$$\theta^r-\theta^i=\begin{cases} \pi & \text{if}\quad \theta^i \lt \theta_B \\ 0 & \text{if}\quad \theta^i \gt \theta_B \end{cases} $$

sin pruebas. Estoy muy cansado de que me digan esto sin explicación. En la página 391 de "Introducción a la Electrodinámica" 3ª edición de "David J. Griffiths" está el mismo gráfico que el de la izquierda de la imagen de arriba y su razonamiento es que

En el gráfico, un negativo número indica que la onda es $180^{\circ}$ fuera de fase con el rayo incidente.

Lo que de nuevo me resulta inútil y no explica con rigor el razonamiento matemático; que es el tipo de explicación que busco.

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Si tuviera que adivinar diría que el signo menos corresponde a una diferencia de fase de $\pi$ tendría que venir del producto punto dentro del argumento del campo eléctrico:

$$\vec E_i=\vec E_{0_i}e^{i(\omega t - k_i\cdot \vec r)}\tag{1}$$ $$\vec E_r=\vec E_{0_r}e^{i(\omega t - k_r\cdot \vec r)}\tag{2}$$ $$\vec E_t=\vec E_{0_t}e^{i(\omega t - k_t\cdot \vec r)}\tag{3}$$

Ecuación de división $(2)$ por $(1)$ Me parece que por definición $$r_p=\frac{E_r}{E_i}=\frac{\vec E_{0_r}}{\vec E_{0_i}}\frac{e^{i(\omega t - k_r\cdot \vec r)}}{e^{i(\omega t - k_i\cdot \vec r)}}=\frac{\vec E_{0_r}}{\vec E_{0_i}}e^{i \vec r(k_i-k_r)}$$

Pero no sé cómo proceder para demostrar que si $$\frac{\vec E_{0_r}}{\vec E_{0_i}}e^{i \vec r(k_i-k_r)}\lt 0\tag{?}$$ entonces hay una diferencia de fase de $\pi$ entre $\vec E_i$ y $\vec E_r$ .

Podría alguien ayudarme a completar la prueba o mostrarme si hay otra forma de demostrar que una relación negativa entre reflexión e incidencia significa un cambio de fase de $\pi$ ?

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Ya he leído preguntas similares en este sitio; como este , este y esta pregunta popular pero siguen sin responder a mi pregunta aquí.

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Actualización:

Desde entonces me han dado una respuesta que menciona un caso especial de la Identidad de Euler; la respuesta dice que

cualquier signo negativo puede reinterpretarse como un desplazamiento de fase de $\pi$ que puedes llevar al argumento del campo.

Utilizando la desigualdad $(\mathrm{?})$ y la fórmula de Euler significa que $$\frac{\vec E_{0_r}}{\vec E_{0_i}}e^{i \vec r(k_i-k_r)}\lt 0\implies \vec r(k_i-k_r)=\pi\tag{4}$$

Entonces, ¿cómo $(4)$ muestran que cualquier número negativo tiene una diferencia de fase de $\pi$ de la relación entre reflexión e incidencia?

Answer 1

Supongo que no será satisfactorio para ti que recuerde la ecuación favorita de todos, $e^{i \pi}=-1$ ? Así que cualquier signo negativo puede reinterpretarse como un desplazamiento de fase de $\pi$ que puedes llevar al argumento del campo.

Answer 2

Ya te has acercado bastante con tu (?) identidad. Lo primero que hay que tener en cuenta es que la dispersión de ondas electromagnéticas es elástica Así que

$$k_i = k_r.$$

Esto se simplifica (?) a $$\frac{\vec E_{0_r}}{\vec E_{0_i}} < 0.$$

Así que esto es simplemente una condición en el complejo amplitudes del campo. Descompongamos las amplitudes en magnitud y fase: $$\vec E_{0_i} = \vec A_{0_i} e^{i\phi_i},$$ $$\vec E_{0_r} = \vec A_{0_r} e^{i\phi_r}$$ donde $\vec A_{0_i}$ , $\vec A_{0_r}$ son reales y positivos. Así que la condición (?) se convierte en

$$\frac{\vec A_{0_r}}{\vec A_{0_i}} e^{i(\phi_r-\phi_i)} <0$$

y por lo tanto

$$e^{i(\phi_r-\phi_i)} <0.$$

$\phi_r-\phi_i$ es la diferencia de fase. Por supuesto podría ser cualquier cosa, pero de nuevo debido a la elasticidad el el coeficiente de reflexión es siempre real . Así que el factor anterior sólo toma 2 valores

$$e^{i(\phi_r-\phi_i)} \in \cases{+1 \\ -1}.$$

Y esto es lo que la gente quiere decir con que el cambio de fase es $\pi$ cuando el coeficiente de reflexión es negativo.

Dos observaciones:

• He afirmado que la dispersión de ondas electromagnéticas es elástica. Esto se debe a que hemos hecho la suposición implícita de que los índices de refracción son reales. Si son complejos tienes absorción en el sistema, el coeficiente de reflexión se vuelve complejo y $e^{i(\phi_r-\phi_i)} <0$ ya no tiene sentido porque el lado izquierdo es un número complejo.
• Una foto siempre ayuda. El reflejo tiene que ver con las ondas que entran y salen. En 1D: Entonces queda claro el significado de los cambios de fase.