¿Esta metodología de teoría de la decisión tiene un nombre?

Question

Supongamos que tengo una cantidad/parámetro $\theta\in\Theta$ que me gustaría hacer inferencias acerca de. Yo soy capaz de dibujar de datos, decir $X = (X_1,\ldots,X_n)$ I. I. D. a partir de una distribución $P(x;\theta)$. Tengo un buen manejo de mis datos de probabilidad, ya que se basa en la confianza en que la física de los modelos.

También estoy dispuesto a admitir que $\theta$ es una variable aleatoria, pero no tengo ninguna buena razón para suponer que saben lo que es una buena antes de la distribución es de imaginar que $\theta$ es muy alto dimensiones y complejo, y poco es lo que realmente sabe acerca de sus estadísticas - wild conjeturas se han intentado, pero todos parecen sospechosos.

Así, la falta de un buen previo, me gustaría considerar puramente probabilidad basada en la inferencia de los procedimientos, sólo para empezar - es decir, voy a tomar un frecuentista/likelihoodist enfoque a mi inferencia - estimadores de máxima verosimilitud, los intervalos de confianza, Fisher información, etc. Así, supongamos que he seleccionado una estimación de la regla de $\hat{\theta} = \delta(X)$.

Dado este estimador, puedo probar su rendimiento por la elección de diferentes priores $\pi(\theta)$, luego de evaluar algo así como un riesgo de Bayes que depende tanto de la previa y la regla de decisión:

$$ E_\pi[L(\theta,\hat{\theta})] = \int_{\Theta}L(\theta,\hat{\theta})d\pi(\theta) $$Of course, as written, this Bayes risk is actually a random variable, since $\hat{\theta} = \delta(X)$ and $X$ is random; to deal with this I could either take the average over $X\vert \theta$ el uso de la probabilidad (número fijo de muestras), o podría tomar una gran muestra de límite. En cualquier caso, mi definición de riesgo por lo tanto depende tanto de la previa y la regla de decisión, y la regla de decisión se formó de manera independiente de la anterior utilizada para la prueba. Así, por un lado me gustaría intentar la formación de un estimador independientemente de los de antes, entonces me gustaría evaluar el resultado del procedimiento de uso de los priores.

Mi pregunta es: ¿este procedimiento sentido, y si es así ¿tiene un precedente en las estadísticas de la literatura? Yo soy más de una de matemáticas y física de la persona, de manera que no estoy tan familiarizado con las estadísticas de la literatura.

Answer 1

El uso de la cantidad $$\mathbb{E}_\pi[L(\theta,\hat{\theta})] = \int_{\Theta}L(\theta,\hat{\theta})\text{d}\pi(\theta)$$ para evaluar el antes de $\pi$ no es significativo como tal, pero puede ser muy interesante, las direcciones en esta pregunta:

1. El "mejor" antes es la masa de Dirac en $\hat{\theta}$
2. La integral debe ser en contra de $\pi(\theta|X)$ desde $X$ ha sido observado
3. Si uno quiere integrar al $X$ la igualdad $$\int_\mathcal{X}\int_{\Theta}L(\theta,\hat{\theta}(x))\text{d}\pi(\theta|x)\text{d}m(x)=\int_{\Theta}\int_{\mathcal{X}}L(\theta,\hat{\theta}(x))\text{d}f(x|\theta)\text{d}\pi(\theta)$$ (El teorema de Fubini) se muestra el orden no importa.
4. Para la integral de riesgos anteriormente, la cuestión se pone más interesante.

Por ejemplo, en la media normal N$(\theta,1)$ de los casos, la integrada de los riesgos asociados con el conjugado de los priores en $\theta$ (y antes de media cero) se parecen \begin{align*}\mathbb{E}_m[\text{var}(\theta|X)]+\mathbb{E}_m[(\mathbb{E}(\theta|X)-X)^2]&=\dfrac{b}{1+b}+\mathbb{E}_m\left[\left(\dfrac{X}{1+b}\right)^2\right]\\&=\dfrac{b}{1+b}+\dfrac{1}{(1+b)^2}(1+b)\\ &=\dfrac{b}{1+b}+\dfrac{1}{(1+b)}=1\\\end{align*} cual es evidente si $X$ es el primer sistema integrado de cabo desde $$\mathbb{E}[(\theta-X)^2]=\mathbb{E}^\pi[\mathbb{E}^X[(\theta-X)^2]]=\mathbb{E}^\pi[1]=1$$ Este resultado significa que estas suposiciones no se puede comparar con respecto a esta medida.