Hom es un functor exacto

Question

Si $0 \to A \to B\to C$ está a la izquierda de la secuencia exacta de $R$-módulo, a continuación, para cualquier $R$-módulo de $M$, $0 \to Hom_R(M,A)\to Hom_R(M,B)\to Hom_R(M,C)$ se deja exacta.

He demostrado que el anterior, y destacó lo que estoy un poco familiarizado con: Deje $0 \to A\ \xrightarrow{i}\ B\ \xrightarrow{f}\ C$$0 \to Hom(M,A)\ \xrightarrow{Hom(M,i)}\ Hom(M,B)\ \xrightarrow{Hom(M,f)}\ Hom(M,C)$. Tenemos que mostrar que $\ker(Hom(M,f))=Hom(M,i)(Hom(M,A))$.

Deje $i \circ \varphi \in RHS$. A continuación, $f \circ i \circ \varphi : M \to C$ $0$ desde $f \circ i \circ \varphi(M) \subseteq f( i(A)) = f(ker(f))=0$.

Por el contrario, vamos a $\psi \in LHS$. A continuación,$f \circ \psi = 0$, de modo que $ f(\psi(M))=0$. Por lo tanto $\psi(M) \subseteq ker(f)=i(A)$. Ya que la imagen de $\psi$ está contenida en la imagen de $i$, podemos factor de $\psi$$\psi=i \varphi$$\varphi : M \to A$. (Aquí está mi juicio, pero no estoy totalmente la comprensión de este: Desde $i$ es inyectiva, $i(A)$ es isomorfo con $A$. Por lo $i^{-1}(\psi (M)) \subseteq A$ y si dejamos $\varphi=i^{-1} \psi$,$\psi = i \varphi$.)

Y tengo una pregunta más: La de arriba se ve muy sucio, especialmente la notación. Existe una mejor prueba/comprensión acerca de ella?

Answer 1

Así, la prueba está bien. Permítanme sugerir una forma ligeramente diferente de mirarlo:

Considere la posibilidad de una secuencia

$$ 0\; \xrightarrow{\phantom{ij}} \; A \; \xrightarrow{i\phantom{j}}\; B\; \xrightarrow{j\phantom{i}} \; C$$ y mira $$ 0\; \xrightarrow{\phantom{j_{\ast}}} \operatorname{Hom}{(M,A)}\; \xrightarrow{i_{\ast}}\operatorname{Hom}{(M,B)} \;\xrightarrow{j_{\ast}}\; \operatorname{Hom}{(M,C)},$$ donde escribo $i_{\ast} = \operatorname{Hom}(M,i)$$j_{\ast} = \operatorname{Hom}(M,j)$.

Decir que la primera secuencia es exacto que equivale a decir $i = \ker{j}$ $ji = 0$ $i$ tiene la característica universal, tal como se representa en el primer diagrama muestra a continuación: Si $g: M \to B$ es tal que $jg = 0$ entonces existe un único $f: M \to A$ tal que $if = g$. En otras palabras, si $j_\ast g = 0$$g = i_{\ast}f$, o aún más $\operatorname{Ker}{j_\ast} \subset \operatorname{Im}{i_{\ast}}$ e $i_{\ast}$ es inyectiva.

Por otro lado, el segundo diagrama se dice: si $g: M \to B$ es de la forma $g = if = i_{\ast}f$ $j_{\ast}g = 0$ (debido a $j_\ast g = j_{\ast}i_{\ast} f = (ji)_{\ast}f = 0f = 0$). En otras palabras, $\operatorname{Im}{i_{\ast}} \subset \operatorname{Ker}{j_{\ast}}$.

En resumen, hemos demostrado que para todos los $M$ la secuencia

$$ 0\; \xrightarrow{\phantom{j_{\ast}}} \operatorname{Hom}{(M,A)}\; \xrightarrow{i_{\ast}}\operatorname{Hom}{(M,B)} \;\xrightarrow{j_{\ast}}\; \operatorname{Hom}{(M,C)}$$ es exacto, tanto en $\operatorname{Hom}{(M,A)}$ ($i_{\ast}$ es inyectiva) y en $\operatorname{Hom}{(M,B)}$ ($\operatorname{Im}{i_{\ast}} = \operatorname{Ker}{j_{\ast}}$)—parece que han olvidado sobre el primer punto aquí.

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Añadió: tal y Como atestigua el argumento de arriba, a la izquierda exactitud de $\operatorname{Hom}$ es esencialmente la definición de la izquierda exactitud en la abelian categoría de $R$-módulos. Como los comentarios que se trate de señalar, la importancia de este hecho no puede ser subestimada.

Me gustaría añadir dos puntos:

1. Un functor $F$ exacto en su definición, si y sólo si $0 \to F(A) \to F(B) \to F(C)$ exacto para cada corto exacta secuencia $0 \to A \to B \to C \to 0$.
   
   De hecho, en la izquierda de la secuencia exacta $0 \to A \to B \to C$, podemos factor de $j: B \to C$ más de su imagen como $B \twoheadrightarrow \operatorname{Im}{j} \rightarrowtail C$ y obtener dos exacta de las secuencias de $$0 \to A \to B \to \operatorname{Im}{j} \to 0 \qquad \text{and} \qquad 0 \to \operatorname{Im}{j} \to C \to \operatorname{Coker}{j} \to 0.$$ Applying $F$ to these two exact sequences, we obtain the left exact sequences $$0 \to F(A) \to F(B) \to F(\operatorname{Im}{j}) \qquad \text{and} \qquad 0 \to F(\operatorname{Im}{j}) \to F(C ) \to F(\operatorname{Coker}{j}).$$ Since the kernel of a map is not changed by postcomposing the map with a monomorphism (check this!), we have $$\operatorname{Ker}{(F(B) \to F(\operatorname{Im}{j}))} = \operatorname{Ker}{(F(B) \to F(\operatorname{Im}{j}) \to F(C))},$$ so by functoriality of $F$ we get a left exact sequence $0 \a F(A) \a F(B) \F(C)$ como se desee.

2. Una pregunta natural es: ¿Cuándo $\operatorname{Hom}(M,-)$ enviar a corto exacta de secuencias cortas secuencias exactas? En otras palabras, cuando se $j_\ast = \operatorname{Hom}{(M,j)}$ un epimorphism para todos a corto exacta de las secuencias de $0\; \xrightarrow{\phantom{ij}} \; A \; \xrightarrow{i\phantom{j}}\; B\; \xrightarrow{j\phantom{i}} \; C \to 0$?
   
   En vista de la izquierda exactitud de $\operatorname{Hom}{(M,-)}$ la pregunta es: Dado cualquier morfismos $h: M \to C$ y cualquier epimorphism $j: B \to C$, cuando se $h$ de la forma $h = j_\ast g$ para algunos de morfismos $g: M \to B$?
   
   Como usted sin duda sabe, esta es precisamente la definición de módulos proyectivos: $M$ se llama proyectivo si y sólo si $g$ siempre existe, para todos los epimorphisms $j: B \twoheadrightarrow C$ y todos los $h: M \to C$. Para énfasis:
   

   Un módulo de $M$ es proyectivo si y sólo si $\operatorname{Hom}{(M,-)}$ es exacta, es decir: se envía corto exacta de secuencias cortas secuencias exactas.