Sé que la respuesta es más que $100$, porque es claramente menos de $100!$ $100^{100}$. Y sé que la respuesta es menos de $10000$, porque (es mayor que $10000 \cdot 9999 \cdot 9998 \cdot \dots\cdot 9901) \cdot (100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot \dots \cdot 1)$ $100^{200}$. Pero no sé cómo encontrar la respuesta. ¿Puede hacerse esto sin pruebas cada valor?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Matthew Scouten
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Stirling dice $n! \sim \sqrt{2\pi} n^{n+1/2} e^{-n}$. $(n/e)^n = 100^n$ para $n = 100 e \approx 271$. No muy lejos del valor real, pero conseguir algo mucho mejor sin la tecnología puede ser difícil.
EDIT: tengo la última frase de la espalda ligeramente. Generalizando $n! = t^n$, la mejor solución es asintóticamente $n \sim t e - \ln(2\pi t)/2 - 1/2$, ya que esto hace $ \ln(n!) - \ln(t^n) = O(\ln(t)^2/t)$.
Para $t = 100$ esto sería $n = 100\; e - \ln(200 \pi)/2 - 1/2 \approx 268.107$. De hecho, eso está muy cerca de la solución real de $\Gamma(x+1) = 100^x$, que es aproximadamente de $268.087$, lo bastante cerca para el siguiente entero, $269$, es el valor correcto.
Por supuesto, algunos de baja tecnología "tecnología" sería conveniente para evaluar numéricamente $100 e - \ln(200 \pi)/2 - 1/2$.
Espero que Rob Arthan le gusta esta versión, mejor.
