Teorema del residuo con la bobina número

Question

Deje $\gamma$ ser un camino cerrado en un dominio $D$ tal que $W(\gamma,\zeta)=0$ (bobinado número) para todos los $\zeta\notin D$. Supongamos que $f$ es analítica en $D$, excepto en el aislado singularidades $z_1,...z_m\in D\backslash \text{Im}(\gamma)$. A continuación, $\displaystyle \int_\gamma f(z) dz=2\pi i\sum W(\gamma,z_k)\text{Res}[f,z_k]$.

Estoy supone que el uso de las Laurent descomposición, en cada una de las $z_k$. Sé que quiero hacer algo similar a la clásica prueba del teorema de los residuos para $\int_{\partial D} f$ y encontrar una lo suficientemente pequeño círculo de $\gamma_k$ alrededor de cada singularidad y, a continuación, utilizar el Laurent descomposición de terminar con algo como

$\displaystyle\int_\gamma f \ dz=\sum_{k=1}^m \left(\int_\gamma\sum_{-\infty}^{-1} a_{k_n}(z-z_k)^n\right)\int_{\gamma_k} f\ dz$

donde $\sum_{-\infty}^\infty a_{k_n}(z-z_k)^n$ es la serie de Laurent $f$$z_k$. Puedo ver qué hacer, ya que esta igualdad; sin embargo, yo no puedo ver cómo llegar a esta igualdad. Cualquier orientación sería muy apreciada.

Answer 1

Romper cada pequeño círculo de $\gamma_k$ en algunos puntos y conectarlos entre sí o a un punto en el bucle externo $\gamma$ con el fin de obtener las rutas (usando ambos el interior y el exterior de los círculos) que no rodean cualquiera de las singularidades. Esto conducirá a $$\int_\gamma f\,dz=\sum_k \left( W(\gamma,z_k)\, \int_{\gamma_k}f\,dz\right)$$ si $\gamma_k$ se supone que rodean $z_k$ una vez, en sentido positivo (es decir,$W(\gamma_k,z_k)=1$).

Si $\ f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_{k,n}(z-z_k)^n$ ${\rm Res}_{z_k}(f)=a_{k,-1}$ y esto es básicamente porque la $\oint \frac1zdz=2\pi i$$0$, pero todos los otros poderes de $z$ tienen una función primitiva ($\frac{z^{n+1}}{n+1}$) que tienen valores únicos, como contraposición a $\log(z)$, por lo que el $\oint z^n\,dz=0$ si $n\ne -1$.