Dado cualquier $3$ sin puntos colineales $A,B,C \in \mathbb{R}^2$. Deje $\Delta$ ser el triángulo con $A,B,C$ como vértices. Deje $h_A, h_B, h_C$ ser de las alturas de $\Delta$ para los vértices correspondientes. Se sabe que para cualquier punto de $P$ en el avión, no existe un único par de números reales $\alpha,\beta$ tal que
$$\vec{P} - \vec{C} = \alpha(\vec{A}-\vec{C}) + \beta(\vec{B} - \vec{C})
\quad\ffi\quad \vec{P} = \alpha \vec{A} + \beta \vec{B} + (1-\alpha\beta)\vec{C}$$
Deje $\gamma = 1 - \alpha - \beta$, el triplete $(\alpha,\beta,\gamma)$ es conocido como el baricentric de las coordenadas del punto $P$ con respecto al $\Delta$. En términos de $(\alpha,\beta,\gamma)$, $P$ se encuentra en el interior o en $\Delta$ cuando y sólo cuando
$\alpha, \beta, \gamma$ son todos no negativos.
Para cualquier línea de $\ell \subset \mathbb{R^2}$, vamos a $d(P,\ell)$ ser la distancia entre el punto de $P$ y la línea de $\ell$.
$$d(P,\ell) \stackrel{def}{=} \inf\big\{\; |\vec{P} - \vec{Q}| : Q \in \ell\; \big\}$$
Asociar $\Delta$ con la siguiente función
$$f_{\Delta}(P) = \frac{1}{h_A} d(P,\overline{BC}) + \frac{1}{h_B} d(P,\overline{CA}) + \frac{1}{h_C}d(P,\overline{AB}) - 1$$
Aviso
$$
|\alpha_P| h_A = d( P, \overline{BC} ),\quad
|\beta_P| h_B = d( P, \overline{CA} ),\quad\text{ y }
|\gamma_P | h_C = d( P, \overline{AB} )
$$
Tenemos
$$f_\Delta(P) = |\alpha_P| + |\beta_P| + |\gamma_P| - 1
\ge \alpha_P + \beta_P + \gamma_P - 1 = 0$$
Además, la desigualdad es estricta, a menos $\alpha_P, \beta_P, \gamma_P \ge 0$, lo que a su vez es equivalente a la condición de $P \in \Delta$.
Lo que esto significa es no-degenerado triángulo $\Delta$ puede ser representado como el nivel fijado para un valor absoluto de la ecuación de $f_\Delta(P) = 0$.
Dado cualquier convexo $n$-gon $X$, sabemos que puede ser representado como la intersección de $n$ la mitad de los aviones de $H_1, H_2, \ldots, H_n$ cuyo apoyo a las líneas que contienen el lado correspondiente de $X$.
$$X = \bigcap_{i=1}^n H_i$$
Para cada una de las $H_i$, encontramos un triángulo $\Delta_i$, de modo que uno de sus lados se está acostado en la correspondiente línea de soporte y lo suficientemente grande como para contener $X$. De esta manera, podemos reescribir $X$
$$X = \bigcap_{i=1}^n \Delta_i$$
Deje $f_X(P) = \sum\limits_{i=1}^n f_{\Delta_i}(P)$. Desde $f_{\Delta_i}(\cdot)$ son no negativos, por lo que no $f_X(\cdot)$. Es fácil ver
$$f_X(P) = 0 \iff f_{\Delta_i}(P) = 0, \forall i \iff P \en \Delta_i, \forall i \iff
P \en \bigcap_{i=1}^n \Delta_i = X$$
A partir de esto, podemos concluir cada convexo $n$-gon $X$ puede ser escrito el conjunto de nivel de
un valor absoluto de la ecuación de $f_X(P) = 0$ que se contiene en la mayoría de las $3n$ términos de valores absolutos de los de $|ax + by + c|$ más uno extra término constante.
Finalmente, como se mencionó en el comentario, la mejor referencia de este tema es, probablemente,
siguiente libro:
- 绝对值方程--折边与组合图形的解析研究
(Valor absoluto en la Ecuación de Investigación Analítica sobre el Plegado y el Compuesto de la Figura)
autor: 林世保, 楊世明.
editor: 哈爾濱工業大學出版社.
ISBN, 9787560335124
y los dos autores dedicar todo el libro para estudiar cómo representar figuras geométricas utilizando el "valor absoluto ecuaciones".
Actualización
Pensando más acerca de esto, hay una solución mucho más sencilla!
Dado cualquier convexo $n$-gon $X$ con vértices $(x_1,y_2)$, $(x_2, y_2), \ldots, (x_n,y_n)$,
ordenó contador-clockwisely alrededor de $X$ como una región. Deje $\mathcal{A}$ ser el área de $X$$(x_0,y_0) = (x_n,y_n)$.
Para cada punto de $(x,y) \in \mathbb{R}^2$, la función de definir
$$A_k(x,y) \stackrel{def}{=} \frac12\left|\begin{matrix} 1 & x & y\\ 1 & x_{k-1} & y_{k-1} \\ 1 & x_k & y_k\end{matrix}\right|$$
Está claro
- $|A_k(x,y)|$ es el área del triángulo con vértices $(x,y), (x_{k-1},y_{k-1}), (x_k,y_k)$.
- $\sum\limits_{k=1}^n A_k(x,y) = \mathcal{A}$.
- $A_k(x,y) \ge 0$ si y sólo si $(x,y)$ está en el mismo lado de la $X$ con respecto al borde de unirse a $(x_{k-1},y_{k-1})$$(x_k,y_k)$.
Lo que esto significa es para todos los $(x,y)$, tenemos
$\displaystyle\;\sum_{k=1}^n |A_k(x,y)| \ge \mathcal{A}$.
Además, $X$ es el nivel fijado para el valor absoluto de la ecuación
$\displaystyle\;\sum_{k=1}^n |A_k(x,y)| = \mathcal{A}\;$.
