Es válido en el modelo de Peano de los naturales inducción completa y por qué. Con más detalle si $L$ es el primer orden lengua $\{ +, \cdot, 0, <,S\}$ y $T$ es la teoría con axiomas no-lógicos
$$PA0.\qquad 0\not= SX_0$$ $$PA1.\qquad SX_0 = SX_1 \to X_0=X_1$$ $$PA2.\qquad X_0\cdot 0=0$$ $$PA3.\qquad X_0+SX_1=S(X_0+X_1)$$ $$PA4.\qquad X_0+0=X_0$$ $$PA5.\qquad X_0\cdot SX_1=X_0\cdot X_1+X_0$$ $$PA6.\qquad X_0 \not\lt X_0$$ $$PA7.\qquad X_0 \lt SX_1\equiv X_0=X_1 \lor X_0\lt X_1$$ $$PA8.\qquad X_0 \lt X_1 \lor X_0=X_1 \lor X_1 \lt X_0$$ $$PA9.\qquad X_0 \lt X_1 \to X_1 \lt X_0 \to X_0 \lt X_2$$
Además, el esquema de inducción: Si A es una fórmula de L que para cada variable X $$PA10.\qquad A_X[0]\to\forall _X(A\to A_X[SX])\to\forall _XA$ $
Que muestran que para todas las fórmulas A todas las variables X $$\vdash \forall _X(\forall _Y(Y\lt X\to A_X[Y])\to A)\to A$ $
