La fórmula de la siguiente manera a partir de la fórmula de Kubo de conductividad (basado en la teoría de respuesta lineal), que se discute en esta pregunta: Kubo Fórmula para el Efecto Hall Cuántico y en las referencias en el mismo. A partir de la fórmula de Kubo (set $e=\hbar=1$)
$$\tag{1}\sigma_{xy}=i\sum_{E_m<0<E_n}\frac{\langle m|v_x|n\rangle\langle n|v_y|m\rangle-\langle m|v_y|n\rangle\langle n|v_x|m\rangle}{(E_m-E_n)^2},$$
donde $|m\rangle$ es la única partícula eigen estado de la eigen energía $E_m$, es decir, $$\tag{2} H|m\rangle = E_m|m\rangle.$ $
Tomemos el impulso derivado $\partial_k$ a ambos lados de la ecuación. (2), tenemos
$$\tag{3}(\partial_{k}H)|m\rangle + H\partial_{k}|m\rangle = (\partial_{k}E_m)|m\rangle + E_m \partial_{k}|m\rangle.$$
A continuación, se superponen con $\langle n|$ desde la izquierda, Eq. (3) se convierte en
$$\tag{4}\langle n|(\partial_{k}H)|m\rangle + E_n\langle n|\partial_{k}|m\rangle = (\partial_{k}E_m)\langle n|m\rangle + E_m \langle n|\partial_{k}|m\rangle.$$
Aquí hemos utilizado la $\langle n|H = E_n\langle n|$. Si $|m\rangle$ $|n\rangle$ son diferentes eigen los estados (por $E_m\neq E_n$ en Eq. (1)), su superposición debe desaparecer, es decir,$\langle n|m\rangle=0$. También tenga en cuenta que $\partial_k H$ no es nada, pero la velocidad operador $v=\partial_k H$, por definición. Así Eq. (4) puede ser reducido a
$$\tag{5} \langle n|v|m\rangle = (E_m - E_n) \langle n|\partial_{k}|m\rangle.$$
El Sustituto De Eq. (5) para Eq. (1) (la restauración de la $x$, $y$ subíndice), tenemos
$$\tag{6} \sigma_{xy}=-i\sum_{E_m<0<E_n}\big(\langle m|\partial_{k_x}|n\rangle\langle n|\partial_{k_y}|m\rangle - \langle m|\partial_{k_y}|n\rangle\langle n|\partial_{k_x}|m\rangle\big).$$
Por otro lado, la Baya de conexión se define como $A_\mu=i\langle m|\partial_{k_\mu}|m\rangle$, y la Baya de curvatura es $F_{xy}=\partial_{k_x}A_{y}-\partial_{k_y}A_{x}$. Dado que el $(\partial_k\langle m|)|n\rangle = - \langle m|\partial_k|n\rangle$ (integrar por parte), podemos ver
$$\tag{7} F_{xy}= -i \sum_n\big( \langle m|\partial_{k_x}|n\rangle\langle n|\partial_{k_y}|m\rangle - \langle m|\partial_{k_y}|n\rangle\langle n|\partial_{k_x}|m\rangle\big) +i \langle m|\partial_{k_x}\partial_{k_y}-\partial_{k_y}\partial_{k_x}|m\rangle.$$
El último término se desvanecen a medida que las derivadas parciales conmuta con cada uno de los otros. Así, comparando con Eq. (6), nos encontramos con
$$\tag{8} \sigma_{xy}=\sum_{E_m<0}F_{xy}\sim\int_{BZ} d^2k F_{xy}.$$
Esto significa que el Ayuntamiento de la conductancia es simplemente la suma de los números de Chern (el total de la Baya de flujo a través de la BZ) para todos los ocupados de las bandas.
Entonces, ¿cuál es el significado físico de $F_{xy}$? $F_{xy}$ es un eficaz campo magnético en el impulso de espacio. Sabemos que el campo magnético de $B$ en el espacio real, de una partícula cargada en movimiento en ella, la experiencia de la fuerza de Lorentz, de tal manera que la ecuación de movimiento se lee $\dot{k}=\dot{r}\times B$. Ahora para cambiar el impulso de espacio, sólo necesitamos para el cambio de momentum $k$, y el de coordinar $r$, y reemplace$B$$F$, lo que conduce a
$$\tag{9} \dot{r}=\dot{k}\times F$$
Entonces, ¿qué es $\dot{r}$? Es la velocidad del electrón, que es proporcional a la corriente $j$. Y lo que es $\dot{k}$? Es la fuerza que actúa sobre el electrón, que es proporcional a la intensidad de campo eléctrico $E$, de modo Eq. (9) implica
$$\tag{10} j \sim E\times F.$$
Por lo tanto, la Baya de la curvatura de la $F_{xy}$ simplemente da a la Sala de respuesta de cada uno de los electrones del estado. Por lo que el Ayuntamiento de la conductividad de toda la electrónica del sistema debe ser la suma de la Baya de curvatura sobre todos los ocupados de los estados, que se expresa en la ecuación. (8).
