teorema fundamental del cálculo relación

Question

Envié esta pregunta la semana pasada pero resulta que tenía un error en la fórmula que intentaba entender. Así que aquí va un segundo intento. Estoy leyendo una prueba en un libro de optimización convexa de Nesterov y al principio de la prueba dice lo siguiente:

para cualquier $x,y \in \mathbb{R}^n$ tenemos

$f'(y) = f'(x) + \int_0^1 f''\left(x + \tau(y-x)\right)(y-x)~d\tau$

La respuesta anterior se refería al teorema fundamental del cálculo pero he leído lo del teorema fundamental del cálculo y sigo sin verlo. Muchas gracias.

Answer 1

Considere la función $$ g(\tau):=f'(x+\tau (y-x)). $$ Entonces, por la regla de la cadena $$ g'(\tau)=f''(x+\tau (y-x))(y-x). $$ Ahora bien, el teorema fundamental del cálculo arroja $$ g(1)-g(0)=\int_0^1 g'(\tau)d\tau $$ que se puede reescribir $$ f'(y)-f'(x)=\int_0^1 f''(x+\tau (y-x))(y-x)d\tau. $$

Answer 2

Dejemos que $s = \tau(y-x) + x$ . Entonces $ds = (y-x)d\tau$ o $d\tau = ds/(y-x)$ . Como $\tau$ corre de $[0,1]$ , $s$ corre de $[x,y]$ . La integral se convierte entonces en

$$\int_x^y f''(s) (y-x) \frac{ds}{y-x} = \int_x^y f''(s) \, ds = f'(y) - f'(x)$$