Es bien sabido que ciertas propiedades de los conjuntos infinitos pueden sólo se muestra mediante (alguna forma de) el axioma de elección. Estoy leyendo algunas conferencias introductorias sobre ZFC y me preguntaba si hay propiedades de conjuntos finitos que sólo bajo CA.
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DanV
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Las propiedades habituales de conjuntos finitos son verdad todavía sin el axioma de elección.
Si $A$ es un conjunto finito, entonces cada función $f\colon A\to A$ es inyectiva iff es surjecitve iff es bijective.
Si $A$ es un conjunto finito no vacío de conjuntos, entonces existe una función de elección de $A$.
Si $A$ es un conjunto finito, entonces cada orden parcial en $A$ tiene un elemento maximal; cada dos lineal de los pedidos en $A$ son isomorfos; etc.
El juego de poder de un conjunto finito es finito, y un subconjunto de un conjunto finito es finito.
Todas estas pruebas no usar el axioma de elección. Sin embargo, el axioma de elección entra en juego en dos puntos:
Usted tiene un infinito de la familia finita de conjuntos. Entonces usted puede ser que necesite el axioma de elección para decir algo. Pero esto es porque nosotros dejamos el ámbito finito de conjuntos, la familia de conjuntos es ahora infinito.
Hay caracterizaciones de la finitud, que no son necesariamente cierto ya. Podría ser un conjunto infinito $A$ de manera tal que todos los $f\colon A\to A$ es inyectiva si y sólo si es bijective, y así sucesivamente.
Así que ahora hay varios conceptos de la finitud. El término "finito" sin elección en contextos generalmente se refiere a un conjunto que está en bijection con un conjunto acotado de números naturales. Y podemos hablar de lo finito, el uso de Dedekind la caracterización con inyectiva funciones (como el anterior), y existe todo un espectro en el medio.
Tomas Dabasinskas
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Hay dos observaciones que pueden ser relevantes aquí.
(1) Esto depende de lo que quieres decir por "finito de conjuntos". Incluso para (infinito hijuelos de) pares el axioma de elección es no seguir a partir de ZF si uno mira una colección infinita. Este es popularmente conocido como el "pares de calcetines" versión de AC que es uno de los más débiles.
(2) Si usted quiere decir que la familia de conjuntos de sí mismo es finito, entonces AC puede ser demostrado en ZF por inducción, es decir, es automático, pero esto sólo es cierto si el fondo de la lógica clásica. Para intuitionistic lógica, el axioma de elección puede ser muy potente incluso para conjuntos finitos. Por ejemplo, hay un teorema que el axioma de elección implica la ley de medio excluido; en este sentido, la introducción de la AC "derrotas" el intuitionistic lógica y convierte la situación en un clásico.
