Mapa de la evaluación no es siempre continua.

Question

Deje $E$ ser un no normable localmente convexo del espacio, definir $$F: E'\times E\to \mathbb R$$ $$(f,e)\to f(e)$$ Tengo que demostrar que $F$ no es continua cuando $E'\times E$ es producto de la topología.

Estaba leyendo un artículo y me encontré con este hecho.. por Favor dame al menos una pista para empezar..

Yo: sé que $E$ es normable si y sólo si el origen tiene un convexo acotado barrio. Así que yo estaba tratando de producir cualquier barrio de contradecir a asunción. Suponga $F$ es continua, entonces tenemos $\{(f,e): a<f(e)<b\}$ es abierto en la topología producto de $E'\times E$, para cualquier $a,b\in \mathbb R$. Esto significa que hay algún conjunto abierto $U'$ $E'$ $U$ $E$ tal que $$U'\times U\subset \{(f,e): a<f(e)<b\}$$
Ahora vamos a $V:=\{e\in E: a<f(e)<b;\forall f\in U'\}$, esto está abierto convexo barrio de origen, pero, ¿cómo probar que esto es acotada. O tenemos cualquier otra forma de producir un barrio.

Gracias por su tiempo.

Answer 1

De hecho, resulta que la evaluación del mapa es discontinuo para cualquier localmente convexa de la topología en $E'$ (si $E$ no es normable).

Usted puede encontrar un breve esbozo de la argumentación en la parte superior de la p.2 de Kriegl y Michors libro: El cómodo ajuste de análisis global (disponible en línea 1): Para demostrar su afirmación de uno argumenta por la contradicción y se supone que $ev$ era continua, es decir,$ev (V \times U) \subseteq [-1,1]$. A continuación, $U$ es un almacén de cero de la vecindad $U$ $E$ ya está contenida en la polar de $V$. Por lo tanto $E$ debe ser normable.