Deje $G$ ser un grupo finito. Sé que el conjunto de representaciones irreducibles de $G$ sobre los números complejos (hasta el isomorfismo) es finito.
Fijemos nuestra atención en algunos irreductible representación de $G$ $\Bbb{C}$ $$\rho: G \longrightarrow GL_n(\Bbb{C})$$ Mi intuición me dice que hay una cierta extensión finita $K \supset \Bbb{Q}$, y algunos representación irreducible $$\sigma:G \longrightarrow GL_n(K)$$ tal que $\rho = i \circ \sigma$ donde $i: GL_n(K) \longrightarrow GL_n(\Bbb{C})$ es la inclusión (cada matriz con entradas en $K$ tiene entradas también en $\Bbb{C}$).
Por ejemplo, si $G=C_2$ es el grupo con dos elementos, podemos pensar en las dos representaciones irreducibles de $C_2$$\sigma_1, \sigma_2 : C_2 \longrightarrow GL_1(\Bbb{Q})$, lo $K=\Bbb{Q}$.
Sin embargo, yo no sé si esto es cierto para cualquier grupo finito (pero creo firmemente que esto es cierto, tal vez usted me puede dar alguna referencia).
Mi pregunta es: dado $G$ un grupo finito, podemos encontrar algunas campo de número de $K$, de tal manera que todas las representaciones irreducibles de $G$ sobre los números complejos pueden ser considerados como representaciones irreducibles sobre $K$ (es decir, todos los involucrados matrices en realidad tienen entradas en $K$)? Podemos encontrar un mínimo número de campo?
