Mostrando directamente que las direcciones principales van a ser ortogonales

Question

Así que, en primer lugar, sé que el mapa de Weingarten (que a partir de ahora denotaré por $L$ ) es un operador lineal simétrico, por lo que existe una base ortonormal de valores propios (Teorema espectral).

Llevo un tiempo intentando este ejemplo concreto, pero estoy atascado y agradecería un par de ojos extra.

Utilizaré el resultado que afirma $L=G^{-1}H$ donde $G$ es la matriz de la primera forma fundamental y $H$ es la matriz de la segunda forma fundamental.

Nuestra superficie viene dada por $f(u,v)=(u\cos v, u\sin v , v)$ . Entonces:

$f_u=(\cos v, \sin v, 0)$ , $f_v=(-u\sin v, u \cos v, 1)$ , $f_{uu}=(0,0,0)$ , $f_{uv}=f_{vu}=(-\sin v, \cos v, 0)$ y $f_{vv}=(-u\cos v, -u \sin v, 0)$ .

Así, $g_{11}=f_u\cdot f_u=1$ , $g_{12}=g_{21}=f_u\cdot f_v=0$ y $g_{22}=f_v\cdot f_v =u^2+1$ .

Entonces, $f_u\times f_v=(\sin v, -\cos v, u)$ Así que $n=\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}(\sin v, -\cos v, u)$ .

Entonces, $h_{11}=n\cdot f_{uu}=0$ , $h_{12}=h_{21}=n\cdot f_{uv}=\frac{-1}{\sqrt{u^2+1}}$ y $h_{22}=0$ .

Entonces, como $G^{_1}=Diag[1,\frac{1}{1+u^2}]$ tenemos que $L=G^{-1}H$ es: $L_{11}=0$ , $L_{12}=\frac{-1}{\sqrt{u^2+1}}$ , $L_{21}=\frac{-1}{(u^2+1)^{3/2}}$ y $L_{22}=0$ (aquí es donde empiezo a dudar porque pensaba que siempre acabaría con una matriz simétrica).

Obtengo que los valores propios de esta matriz vienen dados por $\det(\lambda I-L)=\lambda^2-\frac{1}{(1+u^2)^2}$ Así que $k_1=\frac{1}{u^2+1}$ y $k_2=-k_1$ . Entonces, para encontrar la primera dirección principal, tenemos que encontrar el vector propio que corresponde a $k_1$ que resultó ser $(\frac{-1}{\sqrt{u^2+1}},1)$ y la otra dirección principal resultó ser $(\frac{1}{\sqrt{u^2+1}},1)$ que no siempre son ortogonales, así que no sé en qué me he equivocado.

Answer 1

Estoy de acuerdo con casi todos tus cálculos. Es decir, estoy de acuerdo con todo hasta que calculas los vectores propios.

Los vectores propios de $k_1$ y $k_2$ son (según Maple y mi propio trabajo) respectivamente, $$\begin{bmatrix} 1 \\ \frac{1}{\sqrt{1+u^2}}\end{bmatrix} \text{ and } \begin{bmatrix} 1 \\ -\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}\end{bmatrix}.$$

Desgraciadamente, estos parecen mantener el mismo problema que da su cálculo, ¿verdad? Parece que no son ortogonales (excepto cuando $u=0$ por supuesto). ¿Qué ocurre?

Afirmo que, de hecho, estos dos vectores son ortogonales en todas partes medido por alguien que vive en su parcela de coordenadas . El punto clave es que todo esto se ha expresado en la base $\{f_u, f_v\}$ pero esto es no una base ortonormal. Si lo fuera, tendrías $G = I$ en todas partes.

Así, el producto punto $\left\langle \begin{bmatrix} 1 \\ \frac{1}{\sqrt{1+u^2}}\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ -\frac{1}{\sqrt{1+u^2}} \end{bmatrix} \right\rangle$ es no $1-\frac{1}{1+u^2}$ pero debe tomar la métrica $G$ en cuenta.

El producto punto viene dado en realidad por \begin{align*} \left\langle \begin{bmatrix} 1 \\ \frac{1}{\sqrt{1+u^2}}\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 1 \\ -\frac{1}{\sqrt{1+u^2}} \end{bmatrix} \N - G_{11} {\cdot 1\cdot 1 + G_{22} {\cdot 1+u^2} {\cdot 1+u^2} \frac{1}{\sqrt{1+u^2}}\cdot \frac{-1}{\sqrt{1+u^2}} \\ &= 1+(1+u^2)\NIzquierda(\frac{-1}{1+u^2}directo) &= 1-1 &= 0.\N-end{align*}

En otras palabras, sus dos vectores propios son ortogonal con respecto a la métrica en su parche de coordenadas.