Cociente de espacio cero-dimensional de hausdorff

Question

He leído (en la alegría de los gatos) que cada espacio topológico es un cociente normal de un espacio de hausdorff cero-dimensional. Hasta ahora, no he podido encontrar una prueba. ¿Conoces uno, o una referencia?

Answer 1

Voy a suponer que por lo regular cociente que significa la existencia de regular epimorphism (en la parte Superior), es decir, de un cociente mapa. Espero que no se pase por alto algo. (La prueba parece ser relativamente fácil.)

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Digamos que $X$ es un espacio de primer nivel, si tiene sólo un punto aislado.

Si $a\in X$, entonces el primer factor de $X_a$ $X$ $a$ es el espacio que tiene los mismos barrios de $a$ $X$ y todos los otros puntos de $a$ son aislados.

Es fácil ver que:

• Cada espacio topológico es un cociente de una suma de sus factores primos.

• Un primer factor es discretas o espacio de primer nivel.

Espacios discretos son obviamente cero-dimensional, Hausdorff primer espacio es cero-dimensional y una suma de Hausdorff cero-dimensional del espacio es cero-dimensional. Por lo tanto, es suficiente para mostrar que cada espacio de primer nivel, puede ser obtenida como cociente de una suma de Hausdorff de cero dimensiones de los espacios.

Suponga que en un espacio de primer nivel, $X$ con la acumulación punto de $a$ no es Hausdorff. Deje $C$ ser un cruce de todos los barrios de $a$. A continuación, el espacio $X$ puede ser obtenida como cociente de una suma de:

• el espacio de $X\setminus C\cup\{a\}$ (que es un primer espacio de Hausdorff);

• varias copias de Sierpinski espacio, uno para cada punto de $C\setminus \{a\}$.

Ahora nuestro problema se reduce a la obtención de Sierpinski espacio como un cociente de una Hausdorff primer espacio, que es fácil. (Hay muchas posibilidades, por ejemplo, usted puede obtener es como un cociente de $\{0\}\cup\{\frac1n;n\in\mathbb N\}$ con la topología heredada de $\mathbb R$.)

Yo uso el término factor principal y el primer espacio de la misma manera como en los siguientes documentos. (Aunque no estoy afirmando que Franklin y Rajagopalan fueron los primeros en utilizar estas nociones.)

• Franklin S. P., Rajagopalan M., En subsequential espacios, la Topología de Appl. 35 (1990), 1--19.

• Zhou J.-Y., En los subespacios de pseudo-radial espacios, Comentario.De matemáticas.Univ.Carolinae 34,3 (1993), 583 586--