¿Es diferenciable en cero $\int^x \cos \frac1t$?

Question

De Spivak del Cálculo, 4ª ed., exc 14-20:

Deje que $$f(x) = \begin{cases} \cos \frac1x, & x\neq 0\\ 0, &x=0. \end{casos}$$ Is the function $\int_0^xf$ derivable en cero?

Estoy teniendo problemas con esto; estoy seguro de que me estoy perdiendo algo fácil.

Buscamos

$$\lim_{h\to0} \frac1h \int_0^h \cos\frac1\xi d\xi.$$

Un crudo de estimación nos indica que $\frac1h \int_0^h \cos\frac1\xi d\xi$ entre $-1$$1$.

Intuitivamente, parece que $\int_0^h\cos\frac1\xi d\xi$ va a cero como $h$.

He considerado que el cambio de variables (aunque Ésta aún no ha introducido esta técnica, por lo que no debería ser necesario)

$$\frac1h \int_{1/h}^\infty \frac{1}{u^2} \cos u,$$

pero que en realidad no ayuda.

Answer 1

Sin que la sustitución, podemos notar que

$$g(x) = \begin{cases} -x^2\sin \frac{1}{x} &, x \neq 0 \\ \quad 0 &, x = 0\end{cases}$$

es diferenciable en todas partes, con $g'(0) = 0$ y

$$g'(x) = \cos \frac{1}{x} -2x\sin\frac{1}{x}$$

para $x\neq 0$. Así

$$\int_0^h \cos \frac{1}{\xi}\,d\xi = \int_0^h g'(\xi) + 2\xi\sin \frac{1}{\xi}\,d\xi = g(h) + 2\int_0^h \xi\sin \frac{1}{\xi}\,d\xi.$$

Ahora es fácil ver que

$$\frac{1}{h} \int_0^h \cos \frac{1}{\xi}\,d\xi = \frac{g(h)}{h} + \frac{2}{h}\int_0^h \xi\sin \frac{1}{\xi}\,d\xi$$

tiende a $0$ $h\to 0$ por el valor medio teorema de integrales, ya que el integrando de la restante integral está delimitado por $\lvert h\rvert$ en valor absoluto.

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La sustitución de $u = \frac{1}{\xi}$ conduce a

$$\frac{1}{h} \int_{1/h}^\infty \frac{\cos u}{u^2}\,du,$$

y podemos llegar más lejos con una integración por partes:

$$\begin{align} \int_a^b \frac{\cos u}{u^2}\,du &= \left[\frac{\sin u}{u^2}\right]_a^b + 2\int_a^b \frac{\sin u}{u^3}\,du\\ &= \frac{\sin b}{b^2} - \frac{\sin a}{a^2} + 2\int_a^b \frac{\sin u}{u^3}\,du.\tag{1} \end{align}$$

Podemos estimar que el resto de integral

$$\left\lvert 2\int_a^b \frac{\sin u}{u^3}\,du\right\rvert \leqslant 2\int_a^\infty \frac{du}{u^3} = \frac{1}{a^2}.$$

Así nos encontramos con

$$\left\lvert \frac{1}{h} \int_0^h \cos \frac{1}{\xi} \,d\xi\right\rvert \leqslant \frac{1}{h}\left(\frac{2}{1/h^2} + \frac{1}{1/h^2}\right) \leqslant 3h$$

para $h > 0$. El caso de $h < 0$ es simétrico, por lo que vemos que la integral de la $F$ $f$ es diferenciable en a$0$$F'(0) = 0$.

Answer 2

Este es casi el mismo que el de Daniel respuesta, pero yo quería escribir de una manera ligeramente diferente, sobre todo para mi propia satisfacción:

En la página 179, se observa que la función $$\phi: x\mapsto \begin{cases}x^2\sin\frac1x, & x\neq 0\\0,& x=0 \end{cases}$$ es diferenciable en todas partes, con derivados $$\phi': x\mapsto \begin{cases} 2x \sin \frac1x - \cos\frac1x, & x\neq0 \\0,&x=0. \end{cases}$$

El lector puede intentar integrar ambos lados, y supongo que una antiderivada de una función $f$ es $$g:x\mapsto -\phi(x) + \int_0^x 2\xi \sin\frac1\xi d\xi,$$ como se puede comprobar por la diferenciación. (Yo reclamo el derecho-mano término tiene derivada cero en $x=0$.) Desde $g'=f$ en todas partes, $\int_0^hf = g(h)-g(0)$. Ahora $$\frac1h \int_0^h f = \frac1h [-\phi(\xi)]_0^h +\frac1h \int_0^h 2\xi\sin\frac1\xi d\xi\\ =\frac1h \left( h^2 \sin\frac1h \right) + \frac1h \int_0^h 2\xi\sin\frac1\xi d\xi.$$

Ambos términos se vaya a cero por el hecho de que $|\sin|\leq 1$.