Comprobación de pruebas de subespacios vectoriales

Question

Supongamos que quiero demostrar que para un espacio vectorial de dimensión finita $V$ con base $B=\{b_1,...,b_n\}$ y un subespacio dado $X$ de $V$ existe un subconjunto de $B$ que genera un subespacio $Y$ , de tal manera que $V=X\bigoplus Y$ . ¿Tendría sentido el siguiente argumento?

Supongamos que $X$ tiene base $B_X$ cuyos elementos se expresan en términos de $B$ . Enumérelos, junto con los elementos de $B$ en una matriz y realizar la eliminación gaussiana preservando el $B_X$ filas. entonces los vectores restantes (no nulos) en la matriz, $M$ será la base para $V$ . Dejemos que ( $M$ \ $B_X$ ) sea la base de $Y$ . Entonces, $V=X+Y$ .

Añadido: La matriz $M$ sólo debe tener $n$ filas no nulas. Lo que significa "realizar la eliminación gaussiana" es simplemente enumerar todos los vectores base en $B$ y los de $X$ . Entonces hay vectores linealmente dependientes. Así que usamos la eliminación gaussiana para eliminarlos. Pero elegimos eliminar los vectores base en el original $B$ dejando a los de $X$ en nuestra matriz $M$ . De modo que $M$ contiene los vectores base de $X$ pero sólo tiene $n$ entradas/L.I, vectores.

$X\cap Y=\{0\}$ porque las bases de $X$ y $Y$ son linealmente independientes.

Por lo tanto, la afirmación es cierta.

Comentario : En primer lugar, no estoy del todo seguro de que mi argumento sea necesariamente válido. En segundo lugar, parece carecer de rigor.

¡Gracias de antemano por cualquier ayuda!

Answer 1

He aquí un lema útil:

Lema. Dejemos que $\mathbf{V}$ sea un espacio vectorial, y sea $\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_m$ sea una lista ordenada de vectores. Entonces la lista es linealmente dependiente si y sólo si existe un $k$ , $1\leq k\leq m$ , de tal manera que $\mathbf{x}_k$ es una combinación lineal de $\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_{k-1}$ .

Prueba. Si hay un $k$ tal que $\mathbf{x}_k$ es una combinación lineal de $\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_{k-1}$ , entonces la lista es linealmente dependiente.

A la inversa, supongamos que la lista es linealmente dependiente. Si $\mathbf{x}_1=\mathbf{0}$ entonces $\mathbf{x}_1$ es una combinación lineal de los vectores anteriores (ya que la suma vacía es igual a $\mathbf{0})$ . Si $\mathbf{x}_1\neq\mathbf{0}$ entonces $\{\mathbf{x}_1\}$ es linealmente independiente. Ahora bien, como la lista completa es linealmente dependiente, hay un mínimo $k$ , $2\leq k\leq m$ , de tal manera que $\{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_{k-1}\}$ isl en la independencia temprana, pero $\{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_k\}$ es linealmente dependiente. Esto significa que $\mathbf{x}_k$ es una combinación lineal de $\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_{k-1}$ , según se desee. $\Box$

Ahora, dejemos que $\beta=\{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_m\}$ sea una base para $X$ . Definir $\gamma_0=\emptyset$ .

Si $b_1\in\mathrm{span}(\beta)$ , entonces dejemos que $\gamma_1=\gamma_0$ (es decir, descartar $b_1$ ). Si $b_1\notin\mathrm{span}(\beta)$ , entonces dejemos que $\gamma_1=\{b_1\}$ .

Si $b_2\in\mathrm{span}(\beta\cup\gamma_1)$ , entonces dejemos que $\gamma_2=\gamma_1$ (descartar $b_2$ ). Si $b_2\notin\mathrm{span}(\beta\cup\gamma_1)$ , entonces dejemos que $\gamma_2=\gamma_1\cup\{b_2\}$ .

Continúe así: asumiendo que ha tratado con $b_k$ Si $b_{k+1}\in\mathrm{span}(\beta\cup\gamma_k)$ , entonces dejemos que $\gamma_{k+1}=\gamma_k$ . Si $b_{k+1}\notin\mathrm{span}(\beta\cup\gamma_{k+1})$ , entonces dejemos que $\gamma_{k+1}=\gamma_k\cup\{b_{k+1}\}$ .

(Esto equivale a tomar la lista $\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_m,b_1,\ldots,b_n$ y, a continuación, desechar cualquier vector que sea una combinación lineal de los anterior vectores).

Ahora, al final, $\beta\cup\gamma_n$ será la base de todos los $V$ porque tiene el mismo alcance que $\beta\cup\{b_1,\ldots,b_n\}$ . Además, porque es una base, $\mathrm{span}(\beta)\cap\mathrm{span}(\gamma_n) = \{\mathbf{0}\}$ . Así que $\mathrm{span}(\gamma_n)$ da lo que quieres.

Tu idea está bien, pero la forma en que la describes deja algo que desear: cuando haces la reducción de filas, no tienes forma de garantizar que las filas bajo el primer $m$ que tienes seguirán correspondiendo a vectores $b_i$ esas filas no nulas pueden ser algunas otras combinaciones lineales, lo que hace difícil argumentar que se puede encontrar un subconjunto de la $b_i$ que funcione. Se puede hacer que funcione, pero yo lo haría colocando el $\mathbf{x}_i$ y el $b_i$ como columnas de una matriz, y luego reducir la fila, asegurándose de que la primera $m$ Las columnas contienen pivotes. A continuación, busque el $b_i$ que corresponden a las columnas con pivotes en la forma final, reducida a filas, de esta matriz.