Encontrar el entero más cercano a $\ln(2013)$

Question

Me encuentro con un problema, en un concurso de Matemáticas, para encontrar el entero más cercano a $\ln(2013)$, sin usar una calculadora. Realmente me quede atrapado.

Traté de girar a la $\ln(2013)$ a $\ln(3)+\ln(11)+\ln(61)$, pero nada valioso obtenidos. He aplicado también en series de Taylor de registro natural, pero no funciona. Cualquier sugerencia es bienvenida.

Answer 1

$2013$ es "muy" cerca de $2048=2^{11}$. Así que ¿cómo $$2013=e^x=2^y$$ donde $y$ es efectivamente igual a $11$. A continuación, $x=y\ln 2$ $\ln 2$ es famosa por igual a $0.7$. Entonces $$\ln(2013)\approx 11\cdot 0.7=7.7$$ dar una respuesta de $8$.

Answer 2

Tenga en cuenta que $2013$ casi $2048$$2^{11}$.

También tenga en cuenta que $\ln(2013)=\log_2(2013)\cdot\ln 2$. Desde $\log_2(2013)$ casi $\log_2(2048)=11$ $\ln 2$ es aproximadamente el $0.693\approx 0.7$ tenemos que $\ln(2013)$ es aproximadamente el $11\cdot0.7\approx 7.7\approx 8$.

Answer 3

Sin recordar registros (aunque puede ser útil recordar algunos),
Nota: $2 < e < 3$ $2^{10} < 2013 < 3^7$
Así que si $e^x = 2013$, debemos tener $7 < x < 10$

Por lo tanto $e^\frac{x}{11} = 2013^\frac{1}{11} = (2048 - 35)^\frac{1}{11} = 2(1 - \frac{35}{2048})^\frac{1}{11}$

Ahora tenemos $\frac{x}{11} < 1$ y puede aproximar sin miedo a perder mucha precisión mediante:

$1 + \dfrac{x}{11} + \dfrac{x^2}{242} \approx 2 - \dfrac{2\cdot 35}{11 \cdot 2048} $

que conduce a la
$x^2 + 22 x \approx 241$
$(x+11)^2 \approx 362$
o $x \approx 8$

Answer 4

Uno de mis útiles memorizado aproximaciones es $e^3\approx20$, y sé que $20$ es una ligera subestimación. Por lo $e^6$ es un poco más de $400$, e $e^9$ es un poco más de $8000$. Eso significa que la elección es entre el $7$ y $8$. $400$ es demasiado pequeño por un factor de alrededor de $5$, e $8000$ es demasiado grande por un factor de sólo alrededor de $4$, por lo que es $8$, aunque no por mucho. (Y, por supuesto, resulta ser de alrededor de $7.61$.)

Answer 5

$\ln 3$ es un poco mayor que $1$. De hecho, usted puede utilizar $\ln (1+x)\approx x$ $\frac 3e \approx 1.1$ conseguir $\ln 3 \approx 1+ \ln 1.1 \approx 1.1$

Tal vez usted sabe que $\ln 10 \approx 2.3$, lo $\ln 11=\ln 10 + \ln 1.1 \approx 2.4$

A continuación,$\ln 61 \approx \ln 2 + \ln 3 + \ln 10 \approx 0.7+1.1+2.3 =4.1$.

En resumen, tenemos $1.1+2.4+0.7+1.1+2.3=7.6$ y me gustaría decir $8$, a pesar de que estábamos demasiado cerca de la $7.5$. De hecho,$\ln 2013 \approx 7.607$, por lo que las aproximaciones fueron bastante buenas.

Último momento: aún más fácil es $\ln 2000 \approx 0.7+3\cdot 2.3 = 7.6$ y el factor adicional $1.006$ sólo añade $0.006$