Ventajas de utilizar diferentes firmas métricas en la relatividad y la QFT

Question

Estoy estudiando la relatividad general y algunas QFT básicas. Me molesta mucho que diferentes libros utilicen diferentes firmas métricas, es decir $(-+++)$ y $(+---).$ ¿Alguien puede decirme las ventajas de usar ambos, o por qué algunas personas prefieren el primero y otras el segundo? Me gustaría saber cuál debo utilizar al abordar diferentes problemas.

Answer 1

$(+,-,-,-)$

El físico de partículas La convención es útil si le gusta que sus cantidades relevantes sean positivas. Los vectores 4 de tipo temporal tienen magnitudes positivas en este formalismo, por lo que no es necesario incluir signos negativos adicionales en las fórmulas. Los vectores espaciales resultan negativos, lo que es satisfactorio porque los eventos separados por una distancia espacial no pueden estar relacionados causalmente.

$(-,+,+,+)$

El del relativista es satisfactoria si te gusta mantener tu formalismo de 3 vectores libre de los signos menos. Además, subir y bajar los índices en el espaciotiempo plano equivale simplemente a cambiar el signo de la componente temporal. Además, esta convención es preferible cuando se trabaja en espacios de dimensionalidad general, por ejemplo en la teoría de cuerdas o cuando se utiliza la correspondencia AdS/CFT. Siempre tienes un solo signo menos en la métrica, sin importar con cuántas dimensiones espaciales estés trabajando. Así que el determinante del tensor métrico, por ejemplo, sería siempre $-1$ . En el otro formalismo, sería $(-1)^{d+1}$ , donde $d$ representa el número de dimensiones del espaciotiempo.

P.D. Para tus propios apuntes, suele ser una buena idea elegir un determinado sistema de unidades y convenciones y ceñirte a ellas siempre que no te impidan ver lo que estás haciendo.

Answer 2

Este es un resumen de la referencia Convenciones de signos de la costa este y la costa oeste que se proporciona en los comentarios anteriores de M.J. Steil, que escribí para conocer las ventajas de la convención de signos utilizada, siendo la convención E aparentemente superior.

Puedes utilizar + - - - (W) o - + + (E).

Con E, las coordenadas espaciales se tratan igual tanto en la teoría cuántica de campos relativista como en el caso no relativista QFT. Si se utiliza W en cuanto al espacio, se acaba utilizando una métrica definida negativa, cuando sería preferible una métrica definida positiva.

Usando E, si intentas crear una QFT, bien definida, analíticamente extensible al tiempo imaginario, tu resultado estará en la métrica euclidiana estándar de 4D.

Si se utiliza W , de nuevo aparece una métrica definida negativa, mientras que realmente se preferiría una versión definida positiva de nuevo.

Con E, el álgebra de Clifford Cliff (3,1) es el álgebra de las matrices reales de cuatro por cuatro. Puedes elegir que tus matrices gamma sean matrices reales y trabajar con una representación espinor real (también conocida como la representación de Majorana).

En cambio, si se opta por utilizar W, Cliff(1,3) es el álgebra de las matrices cuaterniónicas de dos en dos, lo que introduce complicaciones innecesarias.

En física, los números imaginarios se utilizan tan comúnmente como los reales, y podemos trabajar con ellos hasta el final del cálculo, cuando hay que volver a convertirlos en números reales. Esto hace que los matemáticos y los físicos utilicen diferentes definiciones y notaciones para los mismos conceptos. Esto puede dar lugar a confusión si se lee sobre el mismo tema en dos libros, uno escrito por un matemático y otro por un físico, pero este es un viejo problema, y no se limita a las convenciones de signos, por desgracia.

Answer 3

Al hablar de las ventajas y desventajas de las firmas métricas de la costa este (-,+,+,+) y de la costa oeste (+,-,-,-), hay que tener en cuenta que la firma métrica de la costa oeste (+,-,-,-) es la firma natural del espacio-tiempo.

Combinando la equivalencia masa-energía de Albert Einstein $E=mc^2$ y la invariante energética relativista $E^2/c^2 - p^2 = m_0^2 c^2$ y midiendo la longitud en segundos-luz (c=1) se obtiene: $ E^2 = m^2 = m_0^2 + p^2 = m_0^2 + p_1^2 + p_2^2 + p_3^2 $

Por lo tanto, la masa en reposo $m_0$ es la cuarta componente del vector momento, y la energía $E$ o masa $m$ es la longitud total del vector momento.

Esta suma de cuatro cuadrados se puede escribir, según la identidad de cuatro cuadrados de Leonhard Euler, como el producto de dos sumas de cada cuatro cuadrados:

$(m_0^2 + p_1^2 + p_2^2 + p_3^2) = (r_0^2 + r_1^2 + r_2^2 + r_3^2)(s_0^2 + s_1^2 + s_2^2 + s_3^2 )$

En ella, los componentes se dan de la siguiente manera:

$m_0 = (r_0 s_0 - r_1 s_1 - r_2 s_2 - r_3 s_3)$

$p_1 = (r_0 s_1 + r_1 s_0 + r_2 s_3 - r_3 s_2)$

$p_2 = (r_0 s_2 - r_1 s_3 + r_2 s_0 + r_3 s_1)$

$p_3 = (r_0 s_3 + r_1 s_2 - r_2 s_1 + r_3 s_0)$

La prueba es por simple evaluación algebraica.

Esta es la regla de multiplicación del cuaternión.

Tenga en cuenta que la primera fila de la multiplicación de cuaterniones

es decir, el producto métrico $m_0 = rs $ , muestra el

Firma métrica de la costa oeste (+,-,-,-)

Answer 4

Si utiliza la firma $(-+++)$ entonces la curvatura de la geometría cerrada resulta ser positiva.