Arquitectura de Cantor ' prueba s

Question

Cantor de la diagonal argumento se compone de dos partes: bijection y la extracción de la nueva serie. Si se demuestra que una determinada arquitectura de bijection no funciona, ¿por qué implicar que cualquier otra arquitectura de bijection no debe trabajar?

Sólo un apéndice para hacer mi punto más claro:

Otra posible arquitectura que viene a mi mente es escribir los números reales en la mesa y corresponden a la enésima potencia de 2. Entonces empezamos a construir los nuevos números que no aparecen en nuestra mesa y se corresponden con potencias de 3. Después de que nos construcción de los nuevos números de la tabla de alimentación de 3 (aunque sin la comprobación de los teníamos en la primera tabla) nos corresponden a la enésima potencia de 5, y así sucesivamente y así sucesivamente. Es fácil notar que este es un mal bijection la arquitectura como usted puede poner en una lista y repita la construcción del nuevo número. ¿Por qué puede asignarse a una simple lista para cualquier arquitectura?

Por otro lado, podemos pensar fácilmente de la correspondencia de los números naturales a sí mismo, en una forma que terminaremos teniendo extra números privados.E.g.(1->2,2->4, etc...). Obviamente, esto no implica que hay más números naturales de 'números naturales'.

Answer 1

Si se demuestra que una determinada arquitectura de bijection no funciona, ¿por qué implicar que cualquier otra arquitectura de bijection no debe trabajar?

No es eso lo que muestra. Él muestra cómo cada arquitectura está condenada a fracasar. Básicamente, el Cantor de la prueba le da un modelo que se puede utilizar en cualquier arquitectura para mostrar que es imperfecto.

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Por otro lado, podemos pensar fácilmente de la correspondencia de los números naturales a sí mismo, en una forma que terminaremos teniendo extra números privados.E.g.(1->2,2->4, etc...). Obviamente, esto no implica que hay más números naturales de 'números naturales'.

Bueno, no, eso no implica que. Pero ¿qué tiene eso que ver con nada?

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Cantor de la prueba es no diciendo que no existe alguna defectuosa de la arquitectura para la asignación de $\mathbb N$$\mathbb R$. Su ejemplo de una asignación es precisamente que - algunos erróneo (no bijective) asignación de$\mathbb N$$\mathbb N$.

Lo que la prueba está diciendo es que cada arquitectura para la asignación de $\mathbb N$ $\mathbb R$es errónea, y también le da un conjunto de instrucciones sobre cómo, si se le da una particular arquitectura, usted puede encontrar al menos un número que falta.

Answer 2

Si demuestra que una determinada arquitectura de biyección no funciona, ¿por qué implica que cualquier otra arquitectura de biyección no debe trabajar?

Excepto que no muestra "una arquitectura dada", lo que muestra es que una arquitectura arbitraria, o equivalente, cualquier arquitectura o como tal que cada arquitectura posible tenes no funcionará no importa qué.

Answer 3

Esta es una regla de inferencia llamada "universal generalización", si podemos probar $\varphi(x)$, entonces podemos deducir $\forall x\varphi(x)$.

Es decir, si podemos probar que una propiedad se cumple para un objeto cualquiera, entonces se cumple para cada objeto. Si una función arbitraria no es un bijection, a continuación, cada una de las funciones no es un bijection.

Es cierto, sin embargo, que los diferentes enumeraciones podría resultar en diferentes "diagonal número". Pero esta diagonal número no será en la enumeración de la que fue generada.

Answer 4

Comentario largo

Puede ser útil leer el Cantor original de la prueba del teorema :

Hay conjuntos infinitos que no se puede poner en una correspondencia uno a uno con el conjunto de los enteros positivos

en :

• Georg Cantor (1892), "Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 1890-1891, 1: 75-78 :

Vamos a considerar un conjunto $M$ de los elementos de la forma $E = (x_1, x_2, \ldots, x_{\nu}, \ldots)$ donde cada "coordinar" $x_i$ es $m$ o $w$.

Si $E_1, E_2, \ldots, E_{\mu}, \ldots$ es cualquier lista infinita [unendliche Rehie] de elementos de las $M$, entonces siempre existe y el elemento $E_0$ $M$ que no coincide con ninguna de $E_{\nu}$ [keine $E_{\nu}$ übereinstimmt].

La "diagonal argumento" de la siguiente manera.

Los puntos clave de la prueba son :

• su generalidad : la introducción de secuencias de símbolos abstractos, Cantor demuestra que la uncountability no dependiendo de algunos específicos de propiedad de los números reales

• la prueba es "constructiva" : para cualquier lista, nos da un "procedimiento" para la fabricación de un nuevo elemento en la lista.

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Vea también :

• Robert Gray, "Georg Cantor y Trascendental de los Números", American Mathematical Monthly, 101: 819-832.