Posibles Duplicados:
Demostrar $\ell_1$ es de primera categoría en $\ell_2$Considere la posibilidad de $\ell^2$ con la topología inducida por la norma. Podemos demostrar fácilmente que $\ell^1 \subset \ell^2$. Me pregunto si $\ell^1$ es escasa (es decir, de primera categoría) en $\ell^2$. En otras palabras, estoy buscando un contable de la familia $(F_n)_{n \in \mathbb N}$ $\ell^2$- conjunto cerrado cuyo interior se vacía y tales que $$ \ell^1 \subseteq \bigcup_{n\in\mathbb N} F_n . $$
¿Qué sugiere usted? He probado con $B(0,n)=\{(x_k)_{k \in \mathbb N}: \sum_{k} \vert x_k\vert < n\}$ pero yo no administrar a probar - si es verdad - que son cerrados y con vacío interior...
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
$\def\norm#1{\left\|#1\right\|}$ Tomemos $\bar B_n = \{(x_k) \in \ell^1 \mid \norm x_1 \le n \}$. Que $y \in \ell^2\setminus \ell^1$, por ejemplo, $y = (1/n)_n$, entonces para cada $x \in \bar B_n$ y cada $\epsilon > 0$, $x + \epsilon y \not\in \bar B_n \subseteq \ell^1$. Así $\bar B_n$ tiene interior vacío. Queda por probar el encierro. Así que deje que $x^k \in \bar B_n$ $k \in \mathbb N$ y $x \in \ell^2$ $\|x^k - x\|_2 \to 0$. Entonces, como $\ell^2$-convergencia implica convergencia de pointwise\begin{align*} \norm x_1 &= \sum_i |x_i|\\ &= \lim_I \sum_{i=1}^I |x_i|\\ &= \lim_I \sum_{i=1}^I\lim_k |x^k_i|\\ &= \lim_I \lim_k \sum_{i=1}^I |x^k_i|\\ &\le \limsup_I \limsup_k \norm{x^k}_1\\ &\le n. \end{align*} así $x \in \bar B_n$ y hemos terminados.
