Función generadora de momentos y martingalas

Question

Sea $(X_n)_{n\geq1}$ sea una secuencia de variables aleatorias i.i.d. tal que la función generadora de momentos $M_{X_1}(t)<\infty$ para todos $t$ . Sea $S_n=\sum_{i=1}^n X_i$ y

$\displaystyle{M_n=\frac{e^{tS_n}}{M_{X_1}(t)^n}, n = 1,2,\dots}$

Demuestra que $(M_n)$ es una martingala con respecto a $(F_n=\sigma\{X_m:m\leq n\})$ .

Cómo mostrar $E[M_{n+1}|F_n]=M_n$ ?

Si quiero mostrar $M_n$ es integrable, entonces tengo que demostrar $E[M_n]<\infty$ . Es fácil demostrar que el numerador de $M_n$ es integrable, pero ¿cómo demostrar $M_n$ ¿es integrable?

Answer 1

Tenga en cuenta que $M_{X_1}(t)^n$ es una constante (es decir, no es aleatoria); por tanto, dado que $e^{t S_n}$ está en $L^1$ así es $M_n$ . Una vez que tengas eso, simplemente calcula: \begin{align*} E[M_{n+1} |F_n] &= E\left[\frac{e^{tS_n}e^{tX_{n+1}}}{M_{X_1}(t)^n M_{X_1}(t)} \bigg| F_n\right] \\ &=\frac{e^{tS_n}}{M_{X_1}(t)^n}E\left[\frac{e^{tX_{n+1}}}{M_{X_1}(t)} \bigg| F_n\right] \\ &= \frac{e^{tS_n}}{M_{X_1}(t)^n} \cdot 1 = M_n. \end{align*}