Los autovalores de a $A$ $A + A^T$

Question

Esta pregunta ha surgido en mí varias veces en mi investigación en ecuaciones diferenciales y en otras áreas:

Deje $A$ ser un real $N \times N$ matriz. ¿Cómo son los autovalores de a $A$ $A + A^T$ relacionados? Por supuesto, si $A$ es simétrica, la respuesta es fácil: son de la misma hasta el factor o $2$, desde entonces $A + A^T = 2A$. Pero si $A \ne A^T$?

Estoy particularmente interesado en la cuestión de las partes reales de los autovalores. Cómo son las partes reales de los autovalores de a $A$ relacionado a la (necesariamente) real de los autovalores de a $A + A^T$?

Respuestas para matrices complejas aprecia.

Cualquier referencia, citings, o explicaciones a cualquier nivel de detalle que será apreciado.

Gracias de antemano.

Answer 1

EDIT: Vamos a $\lambda\in spectrum(A)$; entonces no es $\mu \in spectrum(A+A^T)$ s.t. $|\lambda-\mu|\leq ||A||_2$ (espectral de la norma).

Prueba: Desde $A+A^T$ es real simétrica, de acuerdo a las Bauer–Fike Teorema, no es $\mu\in spectrum(A+A^T)$ s.t. $|\lambda-\mu|\leq ||-A^T||_2=||A||_2$. cf. http://en.wikipedia.org/wiki/Bauer%E2%80%93Fike_theorem

Answer 2

Esta pregunta fue respondida aquí, consulte también los comentarios a su "cerrado-como-duplicar post, especialmente por Terry Tao.

Aquí está el Tao del comentario, ahora eliminado, post 2:

"Tenga en cuenta que si a es estrictamente triangular superior, entonces sus valores propios son todos cero, mientras que $A+A^T$ es arbitraria matriz simétrica, con cero en la diagonal, lo que restringe la traza de la matriz, pero de lo contrario, impone casi no hay condiciones en el espectro de ningún tipo (la única otra restricción que puedo ver es que la matriz no se puede clasificar a una). Así que, además de la traza $tr(A+A^T)=2tr(A)$, no parece ser esencialmente ninguna relación."