Demostrando que la imagen de una función es $\mathbb{C}$ si satisface una ecuación funcional agradable

Question

Que $f$ ser todo y no constante. ¿Suponiendo que cumple con la ecuación funcional $f$ $f(1-z)=1-f(z)$, puede uno demuestran que la imagen de $f$ $\mathbb{C}$?

Los valores de $f$ adquiere el disco de unidad parece determinar $f$...

¿Alguna idea?

Answer 1

Si falta a $f({\mathbb C})$ $w$, entonces también falta $1-w$. El único caso $w = 1-w$ $1/2$, $f(1/2)$. Ahora usar el "pequeño" Teorema de Picard.

Answer 2

Puesto que la función es completa, le falta a más de un punto por el pequeño Teorema de Picard. Si el punto es decir, $y$, $1-y$ debe estar en el rango, a menos que $y=1-y$. Sin embargo, en este caso, $y=\frac{1}{2}$ y nosotros podemos deducir que $f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$. Así, $y\neq 1-y$. Por lo tanto, si hay un $z$ tal que $f(z)=1-y$, entonces, $f(1-z)=1-f(z)=y$. Así, el rango de $f$ es $\mathbb C$.