¿por qué necesita satisfacer $d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$ con el fin de mostrar el espacio métrico?

Question

En el espacio métrico deben cumplirse algunos axiomas. Me pregunto por qué necesitamos satisfacer $d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$ para ser espacio métrico. ¿Si este axioma no se cumple, se produce algún problema?
Gracias por su ayuda

Answer 1

Un espacio métrico es destinado a formalizar una cierta noción de la distancia. Que ese axioma afirma que nunca llegamos a una situación como la de:

Bueno, es un largo camino desde el punto de $A$ a punto de $C$ -, pero la duración total del viaje es el camino más corto si nos detenemos por $B$!

Que está claramente fuera de nuestra intuición de cómo las distancias de trabajo añadiendo más puntos de forma no debería disminuir la distancia - si es así, deberíamos haber elegido ese camino para medir nuestra distancia en el primer lugar.

Esto causa graves problemas teóricos. En particular, vamos a $B(x,r)$ ser una bola de radio $x$$r$: $$B(x,r)=\{y:d(x,y)< r\}.$$ Podemos definir un conjunto abierto $O$ a ser uno de esos que, para cada una de las $x\in O$, hay un $r$ tal que $B(x,r)$ está contenido en $O$. Por lo general, se puede demostrar que una bola está abierto ya que, por cualquier $y\in B(x,r)$ tenemos que la bola de $B(y,r-d(x,y))$ está contenido en $B(x,r)$ porque para cualquier $z\in B(y,r-d(x,y))$ tenemos: $$d(y,z)<r-d(x,y)$$ $$d(x,y)+d(y,z)<r$$ Y luego usamos la desigualdad de triángulo para probar $$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)<r$$ lo que implica $z$$B(x,r)$.

Que ese axioma nos da la maquinaria para mostrar que abrir las bolas están realmente abiertos - que es algo importante. De hecho, si tomamos la costumbre de métricas en $\mathbb R$, pero tenga en cuenta la distancia de $0$ $n$natural $n$$\frac{1}n$, lo cual viola la desigualdad de triángulo, entonces cualquier bola de radio finito no se centra en $0$, pero conteniendo $0$ no está abierto, debido a que toda la bola alrededor de $0$ contiene enteros arbitrariamente grandes, pero cualquier bola de radio finito no se centra en $0$ no. Una vez que hemos perdido la declaración de que abrir las pelotas están abiertas, cualquier topología queríamos hacer va a ser más dura.

Sin embargo, podemos rescatar algunas no-métricas de $d$ violando sólo el triángulo de la desigualdad mediante la definición de $$d'(x,y)=\inf\{d(x,s_1)+d(s_1,s_2)+\ldots+d(s_{n-1},s_n)+d(s_n,y):s_i\in M\}$$ es decir, definir una métrica para ser el "camino más corto", bajo el viejo no métricas. Esto satisface la desigualdad de triángulo, pero podría tener $d(x,y)=0$$x\neq y$.

Answer 2

El problema es que utilizamos a menudo en las pruebas. Para entender mejor cual es el problema, tenga en cuenta las siguientes métricas:

En $\mathbb R$ definir ($d(x,y)= |x-y|$ si $x-y=0$ o $x-y$ es irracional) y $d(x,y)=1$ si $x \neq y$$x-y \in \mathbb Q$.

Esta $d$ cumple con todos los requisitos de la métrica, a excepción de la desigualdad de triángulo.

Aquí son sólo algunos de los problemas menores que aparecen en esta métrica.

Problema 1: $x_{n}=\frac{\sqrt{2}}{n}$ $y_n=\frac{1}{n}-\frac{\sqrt{2}}{n}$ son convergentes, sino $x_n+y_n$ no lo es.

La métrica en realidad puede ser cambiada de manera que usted puede tener $x_n$ convergentes, sino $x_n+x_n$ divergentes.

Tema 2: La secuencia de $x_{2n}=\frac{\sqrt{2}}{n} \,;\, x_{2n+1}=\frac{1}{n}+\frac{\sqrt{2}}{n}$ converge a $0$ pero no es de Cauchy.

Answer 3

Generalmente una métrica definida sobre un espacio vectorial $S$ como una función de $d: S\times S \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $\forall x,y,z,\in S$: $$ 1) \qquad d(x,y)\ge 0 \de la tierra d(x.,y)= \iff x=y $$ $$ 2) \qquad d(x,y)=d(y,x) $$ $$ 3) \qquad d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z) $$

La condición de $1)$ significa que $d$ es positiva definida de la función y el $3)$ es el triángulo de la desigualdad de OP. Esta condición incorpora nuestro conocimiento intuitivo de que la "distancia" entre dos puntos es la longitud mínima de la ruta que tenemos que hacer desde un punto a otro. Y en nuestra experiencia cotidiana esta "ruta mínima" es un segmento de línea recta entre los dos puntos.

Más! Como se observó en las otras respuestas, si la condición de $3)$ no está satisfecho, tenemos algunos problemas en la definición de una topología en el espacio, es decir, para dar una buena definición de la noción de "cercanía" de puntos.

Hay muchas maneras de relajar las condiciones de $1),2),3)$ ( ver aquí) que, hasta donde yo sé, son útiles principalmente en el análisis funcional. Pero esto es demasiado intrincado mundo.

Yo creo que es más interesante, otra pregunta: ¿qué pasa si vivimos en un espacio que no es "plana"? Nuestra Tierra es una esfera y sabemos que la ruta mínima entre dos puntos no es un segmento de línea recta, sino un arco de un círculo máximo. Esto nos llevará a una definición más general de la distancia, como una suma de muchos pequeños segmentos entre muy cerca de los puntos (una integral en el límite) , y esta distancia es la ruta mínima entre los puntos porque suponemos que a nivel local, es decir, entre los dos muy cerca de los puntos, la distancia es de bien aproximada por un segmento de línea recta, y el triángulo de la desigualdad es válida. Esta simple consideración se incorpora en la magnífica teoría de Riemann colectores donde la métrica se define por medio de un positivo definido de forma cuadrática ( ver aquí).

Pero nos podemos relajar también esta condición y, si la métrica no es positivo de la forma definida, pero sólo un no-degenerada uno, nos encontramos con pseudo-riemann colectores. Especialmente importantes son las de Lorentz colectores en los que hay puntos tales que la "distancia" entre las que no es la longitud mínima de los caminos posibles, pero la longitud máxima. E. g.: para un dos dimensiones de Lorentz colector de la distancia de cerca de dos puntos no es $ds^2=dx^2+dy^2$, pero $ds^2=dx^2-dy^2$. Esto significa que los hay de distintos puntos de la que la distancia es nula, y el triángulo de la desigualdad se invierte: $ d(x.y)\ge d(x,y)+d(y,z)$. Esta es la geometría de la Teoría de la Relatividad, que parece contra-intuitivo y conduce a muchos conocidos "paradojas". Pero parece que esta es la verdadera geometría del espacio-tiempo en el que vivimos.