¿la aproximación de $\log(266)$?

Question

Considere el siguiente ejercicio:

De la siguiente, que es la mejor aproximación de $\sqrt{1.5}(266)^{1.5}$?

1.000 B 2,700 C 3,200 D E 4,100 5,300

La directa idea es usar el "diferencial de aproximación": $$f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$$

donde $f(x)=\sqrt{x}266^x$ y $x_0=1$, $x=1.5$.

Finalmente, uno puede tener a la aproximación de $\log 266$. Así que aquí están mis preguntas:

• Cómo aproximar $\log 266$?

• Hay otros métodos para responder a esta pregunta?

Answer 1

Usar $\sqrt{1.5}\cdot 266^{1.5}=\sqrt{1.5}\cdot\sqrt{266}\cdot 266=\sqrt{399}\cdot 266\approx\sqrt{400}\cdot 266=20\cdot 266 = 5320$.

Esto podría hacer más precisa utilizando la aproximación diferencial de $f(x)=266\sqrt{x}$ $x_0=400$: $$f(399)\approx 5320+266\cdot\frac{1}{2\sqrt{400}}\cdot(-1)=5320-6.65 = 5313.35.$ $

Answer 2

$$\sqrt{1.5}(266)^{1.5}>\sqrt{1.44}(256)^{1.5}=1.2\cdot256\cdot16=1.2\cdot4096=4920-4.8\;.$$

Ya que es más cercano a E a D, la respuesta debe ser E.

Answer 3

Suponiendo que ese registro es un registro en base e, entonces $log_e 266 = {{log_{10} 266} \over {log_{10} e}}$. Ahora, aproximan $log_{10}$ es fácil, sólo contar el número de dígitos en 266 y restar 1, así $log_{10} 266 = log (2.66 \cdot 10^2) \approx 2$. Ahora, tienes que saber que $log_{10} e = 0.43429448190325176 \approx 0.5$. Así ${{log_{10} 266} \over {log_{10} e}} \approx {2 \over 0.5} \approx 4$.

Si usted quiere una aproximación más rigurosa, entonces empezamos con el mismo argumento $log_e 266 = {log_{10} 266 \over log_{10} e}$; que $x = log_{10} 266$ por lo tanto $2 < x < 3$; así $y = log_{10} e$ es entre $0.4 < y < 0.5$, por lo tanto desde $log(266) = x/y$ y ${2 \over 0.5} < log_e(266) < {3 \over 0.4}$.