Primeros divisores de un polinomio entero

Question

¿Qué es la prueba que para cualquier entero $n$ y cualquier no constante, entero coeficiente Polinómico $P(x)$, hay infinitamente muchos números primos congruentes a $1 \pmod{n}$ $P(x)$ $x$ que?

Answer 1

Esta es una bonita aplicación estándar de Cebatarov densidad: Vamos a $K$ ser la división de campo de la $P(x)$. Deje $L$ ser el campo compuesto de $K$ $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ donde $\zeta_n$ es una primitiva $n$-ésima raíz de la unidad. Un primer $p$ se divide en $K$ si y sólo si¹ $P(x)$ se divide en distintas lineal factores modulo $p$; se divide en $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ si y $p \equiv 1 \bmod n$; se divide en $L$ si y sólo si ambas son verdaderas. Por Cebatarov densidad (o el más débil del Teorema de Frobenius) los números primos que dividen en $L$ han densidad de $1/\dim L$.

Puedo pensar en formas de hacer distintas partes de este argumento más elemental, pero no veo cómo llegar desde el uso de la teoría algebraica de números; me gustaría ver una primaria de la prueba.

¹ Con un número finito de excepciones, relacionadas con el hecho de que el anillo de enteros en $K$ puede no ser $\mathbb{Z}[x]/P(x)$.