¿Cuál es el "Yoga de los Motivos"?

Question

Hay algunas cosas acerca de la geometría que demuestran por qué un motivic punto de vista es profunda e importante. Un buen indicador es que Grothendieck, y otros tuvieron que inventar importante y nuevo algebraico-geométricas conjeturas sólo para formular la definición de los motivos.

Hay cosas que sé acerca de los motivos en algún nivel, por ejemplo, yo sé lo que tél Grothendieck anillo de variedades es o, reloj anaranjado, ¿cuáles son los ingredientes de la definición de los motivos.

Pero, ¿cómo explicar la Grothendieck del yoga de los motivos? Qué se está refiriendo?

Answer 1

En una frase: la teoría de la cohomology teorías sobre variedades algebraicas y la idea de que no es un universal tal cosa.

Por supuesto, esta no es una muy satisfactoria respuesta, a menos que se especifique lo cohomology teoría. Ejemplos son la l-ádico cohomologies, singular cohomology, de Rham cohomology, Deligne cohomology, rígida (o Monsky-Washnitzer) cohomology. La idea es que cualquier cálculo que parece sostener en todos estos lindos cohomology teorías deben ser motivic (lo que significa que debe ser obtenido a partir de los análogos de computación en la (conjetural) categoría de los motivos por la adecuada realización functor): ejemplo de tales cálculos son aquellos que implican sólo la intersección de la teoría (el uso de la copa de productos de ciclo de clases). Conjecturally, la teoría de los motivos es esencialmente determinada por la intersección de la teoría de los esquemas, mientras que los mayores grupos de Chow (es decir, motivic cohomology) se debe a motivos lo Deligne cohomology es mixto estructuras de Hodge.

1) motivos Puros --- Históricamente, tal cohomology teoría fue pensado como uno que se comporta como singular cohomology (con coeficientes racionales) o de Rham cohomology en suave y variedades proyectivas sobre los números complejos, por lo que nos han ciclo de clases, la Künneth fórmula, Gysin mapas, así como la proyectiva paquete compuesto de fórmula (de ahí la dualidad de Poincaré), y, como consecuencia, un Lefschetz punto fijo de la fórmula (es decir, todo lo necesario para hacer de la intersección de la teoría de allí). Si el cohomology de la teoría de toma sus valores en la categoría de (clasificado) espacios vectoriales sobre algún campo de característica cero, esto ha llevado a la noción de Weil cohomology (que fueron nombrados después de Weil a causa de sus ideas de que la existencia de una cohomology suave y variedades proyectivas sobre un campo de característica p>0 implicaría que las conjeturas de Weil, es decir, el buen comportamiento de los zeta funciones asociadas a la Frobenius de la acción). Sin embargo, no hay ninguna universal Weil cohomology: sobre campos finitos, la existencia de l-ádico cohomologies implicaría que este universal de la teoría sería con coeficientes en la categoría de Q-espacios vectoriales, y se sabe que los que hay no Q-lineal Weil cohomology de variedades sobre un campo k, que contiene un no trivial extensión del campo con p elementos (esto se desprende de un cálculo de Serre que muestra que supersingular curvas elípticas sobre dicho k no puede ser realizado con Q-lineal de coeficientes). (Una de) las observaciones de Grothendieck fue que, en la práctica, Weil cohomology teorías toma su valor más complejos de categorías, a saber tannakian categorías (por ejemplo, representaciones de Galois, mezcla de estructuras de Hodge), que le hizo la conjetura de la existencia de un universal cohomology teoría con valores en un tannakian categoría. Su candidato para este universal tannakian categoría es la categoría de motivos puros hasta numérica de equivalencia (que está totalmente determinado por la intersección de la teoría clásica Chow grupos de suave y variedades proyectivas sobre un campo).

2) motivos Mixtos --- Pero esto es sólo una pequeña parte de la historia (o, si se prefiere, de la yoga). Cohomology teorías, como la l-ádico cohomology o de Rham cohomology, no se definen sólo por la suave y variedades proyectivas, y no vienen solos: vienen con un montón de una categorías derivadas de los coeficientes (en nuestros ejemplos, l-ádico poleas y D-módulos), que tiene un muy fuerte functoriality propiedades, reflejando las dualidades y pegar datos (que expresa la descomposición en un cerrado un subscheme y su complemento) así como agradable descenso propiedades (principalmente étale y adecuada descenso). La idea es que cualquier cálculo o la construcción, que involucra sólo a estos functorialities (conocido como el "6 Grothendieck operaciones") y que tiene en todos los ejemplos conocidos debe ser motivic así (en particular, la intersección de la teoría debe aparecer de forma natural a partir de ahí; no trivial estructuras en cohomology grupos, como el peso de las filtraciones, por ejemplo, también deben ser explicadas por estos functorialities). Quiero decir que no debería existe una teoría de la motivic poleas que debe ser el sistema universal de los coeficientes M sobre esquemas (no necesariamente sobre un campo). Otro sistema de coeficientes a (como l-ádico poleas) debemos obtener el tensor exacta functors M(X) --> A(X) (para cualquier esquema de X), que son compatibles con Grothendieck del 6 operaciones (es decir, pullbacks, imágenes directas con o sin compacto de apoyo, etc). Estos realización functors también se conjetura que es fiel. Todo el regulador de mapas se espera que provienen de tales realización functors. Por último, la categoría de puro motivos mencionados anteriormente debe ser un tensor de la subcategoría de la abelian categoría de motivos mixtos sobre el campo de tierra.

La existencia de tales motivic poleas ha conjeturado en alguna forma u otra, por Grothendieck, Deligne, y Beilinson. Sin embargo, como se dieron cuenta de sí mismos, pueden debilitar estos requisitos por la sustitución de las categorías de coeffcients por sus categorías derivadas D(A), y sólo requiere que hemos trianguladas categorías de motivos mixtos sobre esquemas (sin pedir que son categorías derivadas de un abelian categoría). Las buenas noticias son que, si permitimos que estas categorías de coeficientes abstractos categorías trianguladas, a continuación, como un universal functorial teoría de motivos mixtos más arbitrario de los esquemas no está completamente fuera de su alcance: la obra de Voevodsky, Suslin, Levine, Morel, Ayoub y al. en homotopy la teoría de los esquemas de hace ya bastante cerca de nosotros: esta teoría permite producir categorías trianguladas DM(X) tales que triangulaba tensor de functors DM(X) --> D(A)(X) (y son compatibles con Grothendieck del 6 operaciones), mientras que el Hom en DM calcular exactamente superior Chow grupos (pero no sabemos si son conservadores, como era de esperar). Por lo tanto, una parte significativa de la Yoga se está convirtiendo en reales de las matemáticas hoy en día, a través de la homotopy la teoría de los esquemas.

Answer 2

Así que esto es una locura pregunta, pero voy a tratar de dar al menos una respuesta parcial. Esta pregunta acerca de la Beilinson regulador también es relevante, y esto también es un intento de respuesta a los comentarios de Ilya allí. Me disculpo por la simplificación y la glosa sobre algunos detalles, consulte las referencias para la historia completa.

Primero de todo, algunas referencias: Un modesto pero aún lejos de contenido libre de exposición por Kahn en el yoga de los motivos que está disponible aquí (en francés). Para Grothendieck la idea de motivos puros, ver Scholl: los Clásicos motivos, disponible en su página web con cremallera en formato dvi. Por motivos mixtos, consulte este artículo de Levine. También hay un montón de cosas en las Motivaciones de los volúmenes, editado por Jannsen, Kleiman y Serre, aquí es la búsqueda de Libros de Google de la página. Por último, recomiendo el libro de André: Introducción aux motivos - esta es que tiene un montón de fondo y "yoga", así como instrucciones precisas sobre lo que se sabe y lo que uno conjeturas.

Motivos puros

La forma estándar de explicar en qué consiste, es decir que forman un "universal cohomology de la teoría". Para hacer esto un poco más precisos, vamos a empezar con motivos puros. Podemos arreglar un campo base, y considerar la categoría de suave variedades proyectivas, y varios cohomology functors en esta categoría. La noción precisa de cohomology functor en este contexto está dado por los axiomas para una Weil cohomology teoría, ver este post en el blog de la mina para obtener más detalles.

Hay (al menos) tres puntos clave para mencionar aquí: una es que un Weil cohomologies son "geométrica" de las teorías, como contraposición a la "absoluta". Por ejemplo, al considerar etale cohomology, estamos considerando el functor dada por base el cambio de la variedad a la clausura absoluta de la tierra de campo, y luego tomar la gavilla cohomology con respecto a la constante gavilla Z/l para algunos de los mejores l, en el etale topología. El "absoluto" de la teoría de aquí sería el mismo, pero sin cambio de base en el principio. En la literatura clásica, y en la teoría de números, la geometría versión es la más importante, en parte porque lleva a una acción del grupo de Galois de la base de campo, y por lo tanto da lugar a representaciones de Galois. Por otro lado, la versión completa es importante por ejemplo en la obra de Rost y Voevodsky en la de Bloch-Kato conjetura, y en comparación teoremas con motivic cohomology. Del mismo modo, parece cohomology teorías en general vienen en geométrica/absoluta pares.

El segundo punto clave que hay que mencionar es que el Weil cohomology grupos vienen con los "extras " estructura", como Galois acción o estructura de Hodge. Por ejemplo, l-ádico cohomology toma valores en la categoría de l-ádico espacios vectoriales con Galois de acción, y Betti cohomology toma valores en una categoría adecuada de estructuras de Hodge. Una buena referencia para algunos de esto es Deligne: Hodge yo, en el ICM de 1970 volumen.

El tercer punto clave es que Weil cohomology teorías son siempre "ordinario" en algún sentido, es decir, en algún marco de orientado cohomology teorías que correspondería a la aditivo grupo formal de la ley (ver Lurie: Encuesta sobre la elíptica cohomology). Si hemos permitido que la más general (orientado) cohomology teorías, el universal cohomology no sería motivos puros, pero algebraicas cobordism.

Ahora bien, todas estas cohomology teorías son functors en la categoría de suave variedades proyectivas, y la idea es que todos ellos deben factor a través de la categoría de motivos puros, y que la categoría de motivos puros deben ser universales con esta propiedad. Sabemos cómo construir la categoría de motivos puros, pero no es una opción que intervienen, a saber, la elección de una relación de equivalencia sobre algebraicas ciclos, consulte el artículo de Scholl arriba para más detalles. Para muchos propósitos, la elección más natural es racional equivalencia, y el resultado de la noción de motivos puros es generalmente llamado Chow motivos. Para una indicación precisa acerca de la característica universal de Chow motivos, véase André, página 36: aproximadamente (omitiendo algunos detalles), de manera sensible monoidal functor contravariante en la categoría de suave variedades proyectivas, con valores en un rígido tensor de la categoría, los factores de forma exclusiva sobre la categoría de Chow motivos.

Ahora, hasta el punto de realizaciones planteadas por Ilya en la pregunta acerca de los reguladores. Dada una categoría de motivos puros con una característica universal como en el anterior, no debe ser functors de la categoría de motivos a la categoría de (pura) estructuras de Hodge, a la categoría de Q_l espacios vectoriales con Galois de acción, etc, simplemente porque de la universal de los bienes. Estos functors se llaman realización functors.

Motivos mixtos

Parece que todos los cohomology functors uno normalmente se considera que puede ser definida no sólo para suavizar las variedades, sino también para obtener más general de las variedades. La noción de derecho de cohomology aquí parece ser axiomatized por alguna versión de la de Bloch-Ogus axiomas. Uno podría esperar de una categoría que tiene un similar universal de los bienes como en el anterior, pero ahora con respecto a todas las variedades. Esta categoría sería la categoría de motivos mixtos, y en la norma conjetural marco, uno tiene la esperanza de que debe ser un abelian categoría. No está claro si esta categoría existe o no, sino ver Levine encuesta anterior para una discusión de algunos intentos de construir, Nori y otros. Si tuvimos una categoría, una característica universal implicaría que hay realización functors de nuevo, ahora a "mixto" de las categorías, por ejemplo mixta estructuras de Hodge. La realización functors podría inducir a los mapas Ext grupos, y un adecuado ejemplo de mapa sería el Beilinson regulador, a partir de algunos Ext grupos en la categoría de motivos mixtos (es decir, motivic cohomology grupos) a la que algunos Ext grupos, que puede ser identificado con Deligne-Beilinson cohomology.

No tenemos la abelian categoría de motivos mixtos, pero tenemos un excelente candidato para su deriva categoría: esta es Voevodsky del trianguladas categorías de motivos. También se presentan muy bien en el estudio de Levine. Realmente un buen desarrollo reciente es el trabajo de Déglise y Cisinski, en el que la construcción de estas categorías trianguladas con base general de los programas (creo que Voevodsky original de la obra se centró principalmente en los campos de, al menos, él sólo resultó agradable propiedades a lo largo de los campos).

Para terminar por volver a conectarse a la Beilinson conjeturas, no es muy reciente obra de Jakob Scholbach (presentación de la tesis doctoral, tal vez en el arXiv pronto) lo que parece indicar que la Beilinson conjeturas que realmente debe ser formulado en el marco de la Déglise-Cisinski categoría de motivos sobre Z, en lugar de la clásica configuración de los motivos de más de Q.

El yoga de los motivos que implica mucho más que lo que he mencionado hasta ahora, por ejemplo cosas relacionadas con los períodos y en especial los valores de L-funciones, el estándar de conjeturas, y la idea de motivic (y tal vez incluso "cósmica") grupos de Galois, pero todo esto tal vez podría ser el tema de otra pregunta, algún otro día :-)

Answer 3

Yo también recomendaría mirar en el libro de André mucho, y varios artículos por Deligne, esp. "Hodge yo", "Valeurs de fonctions et de L'Périods Integrales", "A quoi de doncella les motivos?". He encontrado Nekovar las diapositivas y Barbieri-Viale, "Folleto" útil también.

Edit: Gonçalo Tabuada a cabo una charla sobre "la construcción de las categorías de no conmutativa motivos (puros y mixtos) en el espíritu de Drinfeld Kontsevich es no conmutativa la geometría algebraica programa. En el proceso, voy a presentar la primera caracterización conceptual de Quillen superior de la K-teoría ya Quillen la obra fundacional en la década del 70" (enlace). Edit: Nuevo preprints (1, 2)

Edit: Nori apuntes no publicados en los motivos.