Sé que necesito probar $$\lim_{ h\to0^+}\dfrac{ g(x+h) - g(x) }{h}$ $ existe pero no encuentro una manera de simplificar la expresión...
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user32262
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Este es un lindo, aunque de manera más ingeniería pregunta. Deje que nos indican la función que se quiere investigar, por $g_n(x)$ (ya que depende de la $n \in \mathbb{N}$). Tenga en cuenta que la función de $f$ es monótona creciente, así es $k$ es aún tenemos $f(x^k) \geq f(0) = e - 1 > 0$. Si $k$ es impar entonces, a continuación, $f(x^k) > 0$ si $x > -1$ $f(x^k) < 0$ si $x < -1$ $f(x^k) = 0$ si $x = -1$. Por lo tanto, tenemos
$$ g_n(x) = \begin{cases} 100 f(x) - \sum_{k=1}^n f(x^k) & x > -1 \\ 100 f(x) - \sum_{k=1}^n (-1)^k f(x^k) & x < -1. \end{casos}$$
A partir de esta fórmula, es claro que $g_n$ es diferenciable en todos los $x \neq -1$. A ver qué sucede en $x = -1$, ten en cuenta que
$$ g_n'(x) = \begin{cases} 100 f'(x) - \sum_{k=1}^n k x^{k-1} f'(x^k) & x > -1, \\ -100f'(x) - \sum_{k=1}^n (-1)^k k x^{k-1} f'(x^k) & x < -1. \end{casos} $$
Desde $g_n(x)$ es la restricción de continuamente una función derivable en a$(-1,\infty)$$(-\infty, -1)$, se puede calcular la cara de los derivados de la $g_n$ $x = -1$ tomando los límites laterales de $g_n'(x)$. Por lo tanto,
$$ (g_n)_{+}'(-1) = \lim_{x \to -1^{+}} g_n'(x) = 100 f'(-1) - \sum_{k=1}^n k (-1)^{k-1} f'((-1)^k), \\ (g_n)_{-}'(-1) = \lim_{x \to -1^{-}} g_n'(x) = -100 f'(-1) + \sum_{k=1}^n k f'((-1)^k).$$
En orden para $g_n$ a ser diferenciable en a $x = -1$, debemos tener $(g_n)_{+}'(-1) = (g_n)_{-}'(-1)$, por lo que obtenemos la ecuación
$ De$ 200 f'(-1) = \sum_{k=1}^n k(1 + (-1)^{k-1}) f'((-1)^k) = \sum_{k \leq n \text{ impar}} 2k f'(-1) \ffi \\ 100 = \sum_{k \leq n \text{ impar}} k. $$
Por lo tanto, la función es derivable iff $n = 19$ o $n = 20$, por lo que la respuesta final es $39$.
También es bueno para observar este comportamiento de forma gráfica. Para la función original, hay algunos resolución de problemas relacionados con los involucrados en el trazado de la función, pero si tenemos en cuenta que en lugar de la función
$$ g_n(x) = 4|f(x)| - \sum_{k=1}^n |f(x^k)| $$
a continuación, el mismo cálculo anterior muestra que el $g_n$ debe ser diferenciable sólo al $n = 3$ o $n = 4$ lo cual es consistente con las parcelas de los gráficos de $g_n$$n=1,\dots,5$:
