Prueba por definición de límite

Question

Tengo el siguiente límite: $$\lim_{x \to 6} \frac{x+1}{x-5} = 7$$ ¿Cómo puedo demostrar que esta ecuación por la famosa definición del límite? (el que incluye el delta y épsilon). Sé cómo probar límites sencillos como este: $$\\\lim_{x \a 6} x-5 = 1 \\ |x - x_0| < \delta \implica |x - 6| < \delta \\ |f(x) -L| < \epsilon \implica |x-5 -1| < \epsilon \implica |x - 6| < \epsilon \\ \implica \delta = \epsilon$$

Pero en el primer ejemplo que se me preguntó acerca de los que yo tengo: $$|x-6| < \delta$$ $$|\frac{x+1}{x-5} -7| < \epsilon \implies |\frac{36-6x}{x-5}| < \epsilon$$ realmente no sabemos cómo proceder, gracias de antemano :)

Answer 1

Tenemos $$\bigg|\frac{x+1}{x-5}-7\bigg|=\bigg|\frac{x+1-7x+35}{x-5}\bigg|=\bigg|\frac{-6x+36}{x-5}\bigg|=6\cdot\bigg|\frac{x-6}{x-5}\bigg|=6\cdot\bigg|\frac{1}{x-5}\bigg|\cdot|x-6|$ $ asumir que $|x-6|<\frac{1}{2}$. Entonces nos $$-\frac{1}{2}<x-6<\frac{1}{2}$ $ y lo que conseguimos $$-\frac{1}{2}+1<x-6+1<\frac{1}{2}+1$ $, conseguimos $$0<\frac{1}{2}<x-5<\frac{3}{2}$ $ que es, conseguir $$0<\frac{1}{x-5}<2.$$ Let $\epsilon>0$. Definir $$\delta=\min\bigg\{\frac{1}{2},\frac{\epsilon}{12}\bigg\}.$$ Then $\delta\leq\frac{1}{2}$ and $\delta\leq\frac{\epsilon}{12}$. Hence, if $0 < | x-6 | < \delta$ entonces haz $$ \begin{align}\bigg|\frac{x+1}{x-5}-7\bigg|&=6\cdot\bigg|\frac{1}{x-5}\bigg|\cdot|x-6|\\ &=6\cdot\frac{1}{x-5}\cdot|x-6|\\ &<12\cdot\delta\leq \epsilon. \end{Alinee el} $$

Answer 2

SUGERENCIA:

$$\left|\frac{36-6x}{x-5}\right|=\left(\frac{6}{|x-5|}\right)\,|x-6|$$

Entonces, empezar por delimitador $x$ alrededor de $6$, decir $-1\le x-6\le 1$.

Answer 3

Al $x$ está cerca de la frecuencia a $6$, se puede observar que el denominador está cerca de a $1$, y se vuelve inofensivo. A veces, parece más fácil cambiar variables, como $x = u+6$, y se puede estudiar el comportamiento, al $u$ está cerca de a $0$, de

$$\frac{6+u+1}{6+u-5}\,.$$

Podría ser mejor, para empezar a trabajar con $|u|<\delta$$|x-6|<\delta$. Se puede simplificar la fracción anterior en:

$$\frac{u+7}{u+1}\,,$$ y aún más en:

$$1+\frac{6}{u+1}\,.$$

Ahora,

$$\left|1+\frac{6}{u+1} -7\right|< \epsilon \iff \left| \frac{u}{u+1} \right|< \epsilon/6\iff \left| u\right|< |u+1| \epsilon/6\,.$$

Este es el lugar donde usted puede juiciosamente encontrar una lo suficientemente pequeño intervalo de $u$. Si usted eligió $|u|<1/2$, luego

$$1/2<\left| u+1 \right| <3/2\,.$$

Por lo tanto, si usted eligió $|u|$ más pequeño que el de $1/2$$\epsilon/12$, por lo tanto una opción para $\delta$ en una determinada respuesta, entonces usted puede ir de las desigualdades, y encontrar su resultado.